Sistema De Pendulos

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Proyecto |
Física II y Prácticas |
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Profesor Christian Adonaí González Valdéz |
Carlos Omar Ramírez Villalpando 166444-5 |
Eduardo Garfias González 167946-6Mauricio Miranda Romo César 167930-7 |
Luis Alfonso Ledesma Albarrán 167741-2Eduardo Ayala Millán 167952-2 |
Lunes 12 de Noviembre del 2012 |

Sistema de péndulos
El péndulo  es un sistema físico quepuede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo que sirve para medir el tiempo.
Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados: péndulo simple, péndulocompuesto, péndulo cicloidal, doble péndulo, péndulo de Foucault, péndulo de Newton, péndulo balístico, péndulo de torsión, péndulo esférico, etcétera.
Sus usos son muy variados: medida del tiempo medida de la intensidad de la gravedad, etc.

Ecuaciones

Movimiento:
Para escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azulrepresenta el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

donde el signo negativo tiene en cuenta que la  tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura).Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

Oscilación:
El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con laamplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

Definición de longitud:
Para calcular la longitud más larga de un péndulo para así poder definir las otras medidas, se obtuvo a partir de la siguiente ecuación:
T=2πLg
Despejando L se obtiene lasiguiente ecuación:
L= T2g2π2
Resolviendo la ecuación con las constantes de g y π respectivamente obtenemos:
L=0.4970 T2
Gracias a la ecuación obtenida, pudimos definir que rangos de altura debemos de utilizar para que nuestro sistema funcione de manera adecuada.
Tomando en cuenta una altura máxima y una mínima, nuestra constante de gravedad, tenemos que:

Longitud (L) | Gravedad (g) |Oscilación (T) | 60s |
0.5 | 9.81 | 1.418503353 | 85.11020121 |
0.48 | 9.81 | 1.389843766 | 83.39062594 |
0.46 | 9.81 | 1.36058062 | 81.63483718 |
0.44 | 9.81 | 1.330674097 | 79.84044581 |
0.42 | 9.81 | 1.300079798 | 78.00478789 |
0.40 | 9.81 | 1.26874797 | 76.12487819 |
0.38 | 9.81 | 1.236622554 | 74.19735322 |
0.37 | 9.81 | 1.220242724 | 73.21456343 |
0.35 | 9.81 | 1.186805053 |71.2083032 |
0.34 | 9.81 | 1.169727831 | 70.18366988 |
0.33 | 9.81 | 1.152397572 | 69.14385432 |
0.32 | 9.81 | 1.134802683 | 68.08816097 |

Se obtuvieron las oscilaciones por las que cada una de las longitudes de cada péndulo es. En la última columna se multiplico la oscilación por 60 (valor en tiempo) para poder observar al periodo en 1 min (60segundos).

Más aún se calculó elcomportamiento de nuestra oscilación en periodos de 2min, 3min 4min y 5min:
120s | 180s | 240s | 300s |
170.2204024 | 255.3306036 | 340.4408048 | 425.551006 |
166.7812519 | 250.1718778 | 333.5625038 | 416.9531297 |
163.2696744 | 244.9045115 | 326.5393487 | 408.1741859 |
159.6808916 | 239.5213374 | 319.3617832 | 399.2022291 |
156.0095758 | 234.0143637 | 312.0191516 | 390.0239394 |...