Sistema financiero colombiano

Definición:
Integral curvilínea de un campo escalar:
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)jcon t [a, b], está definida como:

donde r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales detrayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).
Integral curvilínea de un campovectorial:
Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t [a, b], está definida como:

donde es el producto escalar y r: [a, b] → C esuna parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrizacióncuando el campo vectorial es conservativo. El signo de estas integrales depende del sentido de recorrido. Llamamos positivo al sentido antihorario.
Otra forma de visualizar esta construcción esconsiderar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par donde

es una 1-forma.

Independencia de la curva de integración
Si el campo vectorial Fes el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

con lo cual, evaluamos la integralde línea de esta manera:

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es elgradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo.

EJEMPLO:

Algunas aplicaciones de la integral de línea de funciones escalares:

(a) Dada una curva...