sistema lineales

MATEMATICAS
2º Bachillerato

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MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Sistemas Lineales

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c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

MaTEX
Sistemas
Lineales

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

CIENCIAS

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ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
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1. Ecuaciones lineales
2.Sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Sistemas equivalentes
2.2. Transformaci´n de sistemas
o
2.3. Clasificaci´n de los sistemas
o
3. M´todo de Gauss Reducido
e
3.1. Ecuaciones dependientes
3.2. Soluci´n parametrizada de un sistema
o
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

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B
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Lineales

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Secci´n 1: Ecuaciones lineales
o

3

r=A+lu

1. Ecuaciones lineales

A

Definici´n 1.1 Una ecuaci´n lineal, con n inc´gnitas, es una expresi´n del
o
o
o
o
tipo
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
donde las inc´gnitas x1 , x2 , · · · , xn est´n sometidas a operaciones de suma y
o
a
producto por n´meros.
u

d
B
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ln x + 2 = y

Unsistema lineal es aquel que consta unicamente de ecuaciones lineales, como
´
por ejemplo
3x − 2y +
4z =
3
y − 17z = −33
20y − 19z = −18
o por ejemplo
x + 2y − 3z + t = 34
2x + y + z − 2t =
5
El problema central del ´lgebra lineal es la resoluci´n de sistemas de ecuaa
o
ciones lineales.

Sistemas
Lineales

No son lineales por ejemplo las ecuaciones:
√
x + 2y = 1
x2 − y + 5 = 0MATEMATICAS
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Secci´n 2: Sistemas de ecuaciones lineales
o

4

r=A+lu

2. Sistemas de ecuaciones lineales

A

A toda n−tupla (x1 , x2 , · · · , xn ) que cumpla las ecuaciones de (S) se le llama
soluci´n del sistema.
o
Los sistemas m´s f´ciles de resolver son los sistemas triangulares.
a a
Ejemplo 2.1. Resolver el sistema
+
+

z
2z4z


= 1 
= 4

= 4

d
B
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Sistemas
Lineales

Definici´n 2.1 Un sistema de m ecuaciones lineales con n inco´gnitas se
o
o
escribe de forma gen´rica como:
e

a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 + · · · +a1n xn = b1 

a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 + · · · +a2n xn = b2 
(S) ≡
..
.
···
···
···
··· = ··· 


am1 x1 +am2 x2 +am3 x3 + · · · +amn xn = bm

2x+ y
y

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Soluci´n:
o
Primero hallamos z en la tercera ecuaci´n, z = 1.
o
Sustituyendo en la segunda ecuaci´n obtenemos, y = 2; y sustituyendo la
o
primera ecuaci´n da x = −1. A este mecanismo lo llamamos sustituci´n
o
o
hacia atr´s.
a
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5

Ejemplo 2.2. Obtener un sistema triangular a partir del sistema de 3 ecuaciones con tresinc´gnitas:
o

2x + y + z =
1 
4x + y
= −2

−2x + 2y + z =
7
Restamos de la segunda ecuaci´n, la primera multiplicada por 2, y
o
sumamos a la tercera ecuaci´n, la primera. Obtenemos as´ un sistema
o
ı
equivalente al anterior:

2x + y + z =
1 
− y − 2z = −4

3y + 2z =
8
Ahora, con la segunda y tercera ecuaci´n eliminamos y,
o
Sumamos a la tercera ecuaci´n la segundamultiplicada por 3:
o

2x + y + z =
1 
− y − 2z = −4

− 4z = −4

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A

d
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Secci´n 2: Sistemas de ecuaciones lineales
o

La soluci´n como antes es, z = 1, y = 2 y x = −1. Al proceso seguido se le
o
llama eliminaci´n gaussiana o m´todo de Gauss . Cuando el sistema tiene
o
e
soluci´n decimosque es compatible.
o
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Secci´n 2: Sistemas de ecuaciones lineales
o

6

2.1. Sistemas equivalentes
Definici´n 2.2 Dos sistemas con las mismas inc´gnitas y con la misma soluo
o
ci´n se llaman equivalentes. Por ejemplo
o

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3x − 2y = 9
3x − 2y = 9
2x + 2y = 6
x + y = 3
son equivalentes...