Sistema Mas Resorte
Páginas: 2 (380 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2012
5to Semestre
Matemáticas V
Sistema resorte/masa: Movimiento Forzado
Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento yproporcional a la cantidad de alargamiento s.
F =kx
Ecuación diferencial libre no amortiguado.
De donde
Ecuación diferencial movimiento libre amortiguado
Donde
Caso I: si
El sistemaesta sobre amortiguado entonces la solución del sistema es:
Caso II: si
El sistema esta críticamente amortiguado entonces la solución del sistema es:
Caso III: si
El sistema estasubamortiguado entonces la solución del sistema es:
Entonces las raíces ahora son complejas:
Ecuación diferencial del sistema críticamente amortiguado.
Donde
PROBLEMA PROPUESTO
Una masa de 1 slugestá unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie.
Al inicio la masa se libera 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento posterior tomalugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea.
Preguntas:
A) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igualactúa sobre la masa.
B) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de estado estable en los mismos ejes de coordenadas.
C) Trace la gráfica de ecuación de movimiento.
Datosdel problema.
m = 1 slug
k = 5 lb/ft
B = 2 lb/seg
Ecuación del sistema resorte masa forzado.
Ecu 1
Resolviendo la ecuación diferencial homogénea.
Comparando con el caso III:
Delsistema movimiento libre amortiguado.
La solución de la ecuación diferencial homogénea es:
Ecu 2
Como la solución del sistema es
Debemos obtener la sol particular
Ecu 3
Sustituyendoen Ecu 1
-4Acos2t-4Bsin2t-4Asin2t+4Bcos2t+5Acos2t+5Bsin2t=12cos2t+3sin2t
sin2t5B-4B-4A+cos2t5A-4A+4B=12cos2t+3sin2t
sin2tB-4A+cos2tA+4B=12cos2t+3sin2t
A+4B=12
B-4A=3
A=12-4B
B-412-4B=3...
Matemáticas V
Sistema resorte/masa: Movimiento Forzado
Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento yproporcional a la cantidad de alargamiento s.
F =kx
Ecuación diferencial libre no amortiguado.
De donde
Ecuación diferencial movimiento libre amortiguado
Donde
Caso I: si
El sistemaesta sobre amortiguado entonces la solución del sistema es:
Caso II: si
El sistema esta críticamente amortiguado entonces la solución del sistema es:
Caso III: si
El sistema estasubamortiguado entonces la solución del sistema es:
Entonces las raíces ahora son complejas:
Ecuación diferencial del sistema críticamente amortiguado.
Donde
PROBLEMA PROPUESTO
Una masa de 1 slugestá unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie.
Al inicio la masa se libera 1 pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento posterior tomalugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea.
Preguntas:
A) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza externa igualactúa sobre la masa.
B) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de estado estable en los mismos ejes de coordenadas.
C) Trace la gráfica de ecuación de movimiento.
Datosdel problema.
m = 1 slug
k = 5 lb/ft
B = 2 lb/seg
Ecuación del sistema resorte masa forzado.
Ecu 1
Resolviendo la ecuación diferencial homogénea.
Comparando con el caso III:
Delsistema movimiento libre amortiguado.
La solución de la ecuación diferencial homogénea es:
Ecu 2
Como la solución del sistema es
Debemos obtener la sol particular
Ecu 3
Sustituyendoen Ecu 1
-4Acos2t-4Bsin2t-4Asin2t+4Bcos2t+5Acos2t+5Bsin2t=12cos2t+3sin2t
sin2t5B-4B-4A+cos2t5A-4A+4B=12cos2t+3sin2t
sin2tB-4A+cos2tA+4B=12cos2t+3sin2t
A+4B=12
B-4A=3
A=12-4B
B-412-4B=3...
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