Sistema Masa Resorte Acoplados

En una superficie horizontal suave una masa m1, está unida a una pared fija mediante un resorte constante k1. Otra masa m2 está unida al primer objeto mediante un resorte cuya constante es k2. Esta masa m2 , está unida del otro lado a una pared mediante un resorte cuya constante es k3. Los dos objetos están unidos y alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitudnatural. Si ambos objetos se desplazan 3 m hacia la derecha de su posición de equilibrio y se liberan ¿Cuáles son las ecuaciones de movimientos de los dos objetos? Considere las masas iguales o sea m1=m2=2kg y las constantes iguales k1=k2=k3=2Nm
-k(y-x)
-ky
-kx k(y-x)

x
y

Para estudiar un sistema masa-resorte acoplados,vamos a tomar como modelo el sistema formado por dos partículas iguales m situadas en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica k. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante k, tal como se puede ver en la figura. Para simplificar, despreciaremos
los efectos de la fricción, la gravedad y las fuerzas externas.
Llamemos x e y a losdesplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El resorte de la izquierda se ha estirado una distancia x, el de la derecha se ha comprimido y por lo que el central se ha deformado y-x. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura.
* Sobre la partícula de la izquierda, se ejerceuna fuerza hacia la izquierda-kx, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del resorte central k(y-x), suponemos que y es mayor que x.
* Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –ky y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del resorte central -ky-x.
El resorte central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una delas partículas.
Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
ma=F
mx''=-kx+k(y-x)my''=-ky-x-ky
Realizamos un cambio de variable para poder expresar estas dos ecuaciones de segundo orden, como ecuaciones lineales de primer orden, entonces llamamos:
x=x1y=x3
x'=x'1=x2 y'=x'3=x4
x''=x'2 y''=x'4
mx'2=-kx1+k(x3-x1)mx'4=-k(x3-x1)-kx3
x'1=x2 x'2=-km2x1-x3 x'3=x4 x'4=-km2x3-x1
Nos quedo un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden, este sistema se lo resuelve por el método de valores propios.
Sistemas homogéneos concoeficientes constantes. La forma de una solución general para un sistema homogéneo con coeficientes constantes depende de los valores y vectores propios de la matriz constante A n × n. La matriz A esta formada por los coeficientes que acompañan a cada variable en el sistema de ecuaciones de primer orden. Un valor propio de A es un número λ tal que el sistema AV=λV tiene una solución notrivial V, llamado un vector propio de A asociado al valor propio λ. La determinación de los valores propios de A es equivalente a hallar las raíces de la ecuación característica:

A-λI=0

Los vectores propios correspondientes se encuentran resolviendo el sistema:

A-λIV=0

Si la matriz A tiene n vectores propios linealmente independientes V1, . . . , Vn y λi es el valor propiocorrespondiente al vector propio Vi.

Siguiendo con la resolución del problema:

x'=Ax →0100-2km0km00001km0-2km0MATRIZ Ax1x2x3x4

* Ahora vamos a determinar los valores propios de A que es equivalente a hallar las raíces de la ecuación característica:

A-λI=0 I:matriz identidad
A-λI=-λ100-2km-λkm000-λ1km0-2km-λ=C1,2.A1,2+C2,2.A2,2
Resolviendo el determinante:...