Sistema numérico
Páginas: 8 (1977 palabras)
Publicado: 8 de enero de 2012
SISTEMA NUMÉRICO
Un conjunto, es un sistema numérico si en él están definidas dos operaciones matemáticas binarias asociativas y conmutativas, denominadas adición y multiplicación, y si además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. Para a, b y c elementos de:
▪ Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a
▪ Propiedad conmutativa de lamultiplicación: a.b = b.a
▪ Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)
▪ Propiedad asociativa de la multiplicación: (a.b).c = a.(b.c)
▪ Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a.(b + c) = a.b + a.c
La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.
TEOREMAS FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN
Este teorema establece la formageneral de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
[pic], número válido en el sistema de numeración.
[pic], base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
[pic], un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
[pic],: Número de dígitos de la parteentera.
[pic], coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.
[pic],: Número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:
[pic]
El valor total del número será la suma decada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.
EJEMPLO EN EL SISTEMA DECIMAL
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (elnúmero de símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
[pic]
[pic]
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en elnúmero, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas(10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36
[pic]
EJEMPLO EN EL SISTEMA BINARIO
Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental dela numeración aplicado al sistema binario.
[pic]
[pic]
Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
En el sistema binario, para representarcifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotándolos símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, si contamos en binario, tras el...
Un conjunto, es un sistema numérico si en él están definidas dos operaciones matemáticas binarias asociativas y conmutativas, denominadas adición y multiplicación, y si además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. Para a, b y c elementos de:
▪ Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a
▪ Propiedad conmutativa de lamultiplicación: a.b = b.a
▪ Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)
▪ Propiedad asociativa de la multiplicación: (a.b).c = a.(b.c)
▪ Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a.(b + c) = a.b + a.c
La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.
TEOREMAS FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN
Este teorema establece la formageneral de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:
[pic], número válido en el sistema de numeración.
[pic], base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
[pic], un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración.
[pic],: Número de dígitos de la parteentera.
[pic], coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.
[pic],: Número de dígitos de la parte decimal.
La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:
[pic]
El valor total del número será la suma decada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.
EJEMPLO EN EL SISTEMA DECIMAL
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (elnúmero de símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.
[pic]
[pic]
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en elnúmero, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas(10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36
[pic]
EJEMPLO EN EL SISTEMA BINARIO
Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental dela numeración aplicado al sistema binario.
[pic]
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Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
En el sistema binario, para representarcifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotándolos símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.
Así, si contamos en binario, tras el...
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