Sistema Numérico

SISTEMA NUMÉRICO
CONJUNTOS
Complejos
Complejos
ʗ
Reales
Reales
Imaginarios
Imaginarios

I R
Racionales
Racionales

Irracionales
Irracionales
Q* Q

Enteros Relativos
Enteros Relativos
Z
Enteros no negativos
Enteros no negativos

Enteros negativos
Enteros negativos
Z-Z+
Enteros positivos
Enteros positivos

0 Z+

ESTRUCTURA
Campo o cuerpo (Propiedad distributiva)
Grupo (Propiedad Invertiva)
Abeliano (Propiedad Conmutativa)
Con unidad (Propiedad Modulativa)
Semigrupo (Propiedad Asociativa)
MONOIDE
(Conjunto, operador)


i)
ii) Z+, +
Propiedad Asociativa Z+, +
Para todoa,b,c elemento de Z+
Se cumple: (a+b)+c = a+ (b+c)
Verificación:
(3+2)+4 = 3+ (2+4)
5+4=3+6
9=9
(3+2)+4 = 3+ (2+4)
5+4=3+6
9=9
Sea:
A=3
B=2
C=4


iii) Z+, +
Propiedad Modulativa Z+, +
Para todo a elemento de Z+ , existe e elemento de Z+.
Se cumple:
a+e=a
Verificación:
8+e=8
e=0 ∉ Z+
∃e ∉ Z+
8+e=8
e=0 ∉ Z+
∃e ∉ Z+
Sea:
a=8

No
Cumpleiv) Z+, +
Propiedad Invertiva Z+, +
Z+ Existe ¯a elemento de Z+, denominado inverso aditivo, tal que:
a+¯a= e
Verificación:
7 +¯a= 0
¯a =-7
∃ ¯a =-7 ∉Z+
7 +¯a= 0
¯a =-7
∃ ¯a =-7 ∉Z+
Sea:
a=7
No
Cumple

v) Z+, +
Propiedad Conmutativa Z+, +
Para todo a,b elemento de Z+
Se cumple: a+b=b+a
Verificación:
9+6=6+9
15=15
9+6=6+9
15=15Sea:
a=9
b=6
Z+, +
-Propiedad Asociativa
-Propiedad Conmutativa
Estructura: semigrupo abeliano
Z+, +
-Propiedad Asociativa
-Propiedad Conmutativa
Estructura: semigrupo abeliano





























i) Z+, -
Propiedad Asociativa Z+, -
Para todo a,b,c elemento de Z+
Se cumple: (a-b)-c = a- (b-c)
Verificación:(8-3)-5 = 8-(3-5)
5-5=8-8
0=10
∃x ∉ Z+

(8-3)-5 = 8-(3-5)
5-5=8-8
0=10
∃x ∉ Z+

Sea:
A=8
B=3
C=5
No
Cumple

ii) Z+, -
Propiedad Modulativa Z+, -
Para todo a elemento de Z+ , existe e elemento de Z+.
Se cumple:
a-e=a
Verificación:
8-e=8
e=0 ∉ Z+
∃e ∉ Z+
8-e=8
e=0 ∉ Z+
∃e ∉ Z+
Sea:
a=8

No
Cumple

iii) Z+, -
PropiedadInvertiva Z+, -
Z+ Existe ¯a elemento de Z+, denominado inverso aditivo, tal que:
a -¯a= e
Verificación:
7 -¯a= 0
¯a =7

7 -¯a= 0
¯a =7

Sea:
a=7


iv) Z+, -
Propiedad Conmutativa Z+, -
Para todo a,b elemento de Z+
Se cumple: a-b=b-a
Verificación:
9-6=6-9
3=-3
-3 ∉ Z+
∃x ∉ Z+

9-6=6-9
3=-3
-3 ∉ Z+
∃x ∉ Z+

Sea:
a=9
b=6
No
CumpleZ+, -
-Propiedad Invertiva
Estructura: grupo
Z+, -
-Propiedad Invertiva
Estructura: grupo
























i) Z+, *
Propiedad Asociativa Z+, *
Para todo a,b,c elemento de Z+
Se cumple: (a*b)*c = a*(b*c)
Verificación:
(8*3)*5 = 8*(3*5)
24*5=8*15
120=120

(8*3)*5 = 8*(3*5)
24*5=8*15
120=120

Sea:
A=8
B=3C=5

ii) Z+, *
Propiedad Modulativa Z+, *
Para todo a elemento de Z+ , existe e elemento de Z+.
Se cumple:
a*e=a
Verificación:
8*e=8
e=1

8*e=8
e=1

Sea:
a=8


iii) Z+, *
Propiedad Invertiva Z+, *
Z+ Existe ¯a elemento de Z+, denominado inverso aditivo, tal que:

a*a-1 = e
Verificación:
7 *a-1= 1
a-1 = 1/7

7 *a-1= 1
a-1 =1/7

Sea:
a=7




iv) Z+, *
Propiedad Conmutativa Z+, *
Para todo a,b elemento de Z+
Se cumple: a*b=b*a
Verificación:
9*6=6*9
54=54

9*6=6*9
54=54

Sea:
a=9
b=6


Z+, *
-Propiedad Asociativa
-Propiedad Modulativa
-Propiedad Conmutativa
Estructura: Semigrupo Abeliano con Unidad
Z+, *
-Propiedad Asociativa
-Propiedad Modulativa
-Propiedad...