Sistema tetragonal

Funciones inversa

Es aquella que se obtiene al intercambiar el dominio y el recorrido de f. Para definir correctamente que es una función inversa, antes tenemos que saber que es una función inyectiva, También llamada función uno a uno.

Definición (función uno a uno): Una función es uno a uno, o función inyectiva, si ninguno de los pares Ordenados tienen la misma coordenada, y diferentescoordenadas. La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El Dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos Por , (Y viceversa), despejamos.

Propiedades de las funciones inversas:
Si f-1 existe, entonces:
1) f-1 es una función uno a uno
2) dominio de f-1 = recorrido de f
3) recorrido def-1 = dominio de f
En nuestro ejemplo anterior:
f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f}
Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es una función uno a uno. Por tanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.

1) dominio de f es {1,2,3}. Dominio de f es el recorrido de f-1.
2) recorrido de f es {2,4,9} Recorrido de f es el dominio de f-1.
3) dominio de f-1 es {2,4,9} Dominio de f-1 es elrecorrido de f.
4) recorrido de f-1 es {1,2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f.

IDENTIFICACION

Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se cumple las siguientes condiciones:
.
Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se ladenota por .

Se verifica también las siguientes propiedades.
Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.
.

GraficasFunciones Logarítmicas

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) =bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb (x) como el“logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb (x) un logaritmo.



Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces:
logb y = x si y sólo si y = bx.


Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿Aqué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.


Nota: El dominiode una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10(-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de unoson funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.
Ejemplo:



y = 2x



y =...