Sistema

3. Sistemas de Ecuaciones Mixtos
De_nici_on: Un sistema de k ecuaciones con n inc_ognitas es mixto si por lo menos
una de las ecuaciones del sistema no es lineal.
Llamaremos soluci_on del sistema a todo conjunto de n_umeros (s1; s2; :::; sn)
que reemplazados en el lugar de las inc_ognitas hagan verdaderas las k ecuaciones
simult_aneamente.
4. M_etodos de resoluci_on
En los casos en que unao mas ecuaciones son cuadr_aticas es posible resolver
sistemas mixtos aplicando los m_etodos de sustituci_on o eliminaci_on.
4.1. Ejemplos
1. En el caso en que una de las ecuaciones sea lineal y la otra cuadr_atica, se puede
resolver el sistema por sustituci_on, pues de la ecuaci_on lineal se puede despejar
una de las inc_ognitas. (
2x2 + y2 = 41
x y = 7
1) Despejamos x de la ecuaci_onlineal: x = y + 7
2) Sustituimos x por y + 7 en la ecuaci_on cuadr_atica: 2(y + 7)2 + y2 = 41
3) Resolvemos la ecuaci_on anterior y obtenemos dos valores:
y1 = 3; y2 = 19
3
4) Como x = y + 7, se tiene:
para y1 = 3: x1 = 3 + 7 = 4
para y2 = 19
3 : x2 = 19
3 + 7 = 2
3
Luego el sistema tiene dos soluciones:
x1 = 4 y1 = 3
y
x2 =
2
3
y2 =
19
3
5) Comprobando las primera soluci_on:(
242 + (3)2 = 41
4 (3) = 7
Del mismo modo puede veri_carse la otra soluci_on.
2. En el caso en que ambas ecuaciones sean cuadr_aticas, se puede resolver el sistema
por sustituci_on o eliminando una de las inc_ognitas.
(
x2 + 2y2 = 11
3y2 + 2x = x2
Nivelaci_on de Matem_atica MTHA UNLP 5
En este caso es conveniente eliminar y: 1) Multiplicando por 3 la primera
ecuaci_on y por 2 lasegunda se igualan los coe_cientes de y2:
(
3x2 + 6y2 = 11
6y2 + 4x = 2x2
2) Restando ambas ecuaciones queda: 3x2 4x = 33 2x2
3) Resolviendo esta ecuaci_on se obtienen dos valores para x: x = 3 y x = 11
5
4) De la primera ecuaci_on : y2 =
11 x2
2
5) Para x = 3; y2 =
11 32
2
= 1, luego y = 1 _o y = 1
Para x =
11
5
; y2 =
11 (11=5)2
2
=
77
25
, luego y =
p
77
5
_o y =
p77
5
6) Luego el sistema tiene cuatro soluciones:
x1 = 3; y1 = 1
x2 = 3; y1 = 1
x3 =
11
5
; y3 =
p
77
5
x4 =
11
5
; y4 =
p
77
5
3. Problemas de aplicaci_on:
Antes de comenzar a resolver un problema es necesario tener la seguridad de
haber comprendido el enunciado.
El siguiente paso ser_a identi_car las cantidades que se quieren conocer (inc_ogni-
tas)
Despu_es buscarlas relaciones presentes en el enunciado y traducirlas al lenguaje
de las ecuaciones .
Ejemplo: Dos autos realizan un recorrido de 360 km a velocidad uniforme. Uno
de ellos tarda dos horas mas que el otro, pues ha viajado a una velocidad 15
km/h menor. >Cu_ales fueron las velocidades y cuales los tiempos empleados por
los autos?
En el enunciado se relacionan las velocidades y los tiempos,usaremos como
inc_ognitas:
v : velocidad del auto mas lento en km/h
t : tiempo que emple_o el auto mas lento en horas
La relaciones entre estas cantidades son:
v =
360
t
por de_nici_on de velocidad
v + 15 velocidad del otro auto
t 2 tiempo que tard_o el otro auto
Nivelaci_on de Matem_atica MTHA UNLP 6
v + 15 =
360
t 2
por de_nici_on de velocidad
Queda el sistema mixto: 8>>>><
>>>>:v =
360
t
v + 15 =
360
t 2
Reemplazando en la segunda ecuaci_on queda:
360
t
+ 15 =
360
t 2
Igualando a cero y sacando denominador com_un:
360(t 2) + 15t(t 2) 360t
t(t 2)
= 0
t debe ser distinto de 0 y de 2.
Las soluciones de la ecuaci_on son las que anulan el numerador: 482t+t2 = 0
que son los valores: t1 = 6 (no tiene sentido porque t representa un tiempo) y
t2 = 8Las soluciones del sistema son: t = 8 y v =
360
8
= 45
Luego las velocidades fueron 45 km/h y 60 km/h y los tiempos empleados 8
horas y 6 horas respectivamente.
5. Ejercicios
1. Resolver las siguientes ecuaciones
a) x4 x2 2 = 0 Rta:
p
2;
p
2
b) 8x4 6x2 + 1 = 0 Rta:
1
p
2
;
1
p
2
;
1
2
;
1
2
c) x4 3x2 = 0 Rta:
p
3;
p
3; 0
d) x(3x + 1)(5x 6) = 0 Rta:
1
3...