Sistema

CAPÍTULO DOS
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO

2.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se analizará la caracterización de sistemas en el dominio del tiempo usando la descripción
de la ecuación de estado y las variables de estado. El método permite estudiar el sistema como un todo,
tomando en cuenta tanto sus variables internas como las variables de entrada – salida (excitación –
respuesta).El método ha sido utilizado durante muchos años en la descripción y estudio de sistemas
dinámicos y es de mucha utilidad en la resolución de redes eléctricas.
La descripción con variables de estado utiliza un sistema de ecuaciones diferenciales (en forma matricial)
de primer orden y es aplicable a sistemas lineales o no, variables o invariables en el tiempo. Esta
descripción con matrices quese emplea en la representación mediante variables de estado es independiente
de la complejidad del sistema y, en consecuencia, puede facilitar grandemente el estudio de sistemas
complejos. Además, la formulación con variables de estado p roporciona un método apropiado para el
proceso de solución de las ecuaciones por computadora.

2.2 DEFINICIONES
Desde el punto de vista del análisis ysíntesis de sistemas, es conveniente clasificar las variables que
caracterizan o están asociadas con el sistema en (1) variables de entrada o de excitación, ui, las cuales
representan los estímulos generados por sistemas diferentes del sistema bajo estudio y que influyen en su
conducta; (2) variables de salida o de respuesta, yj, las cuales describen aquellos aspectos de la conducta
del sistema queson de interés; y (3) variables de estado o intermedias, xk, las cuales caracterizan la
conducta dinámica del sistema bajo investigación.
El estado de un sistema es un resumen completo de cómo se encuentra el sistema en un punto particular
en el tiempo, esto es, el estado de un sistema se refiere a sus condiciones pasadas, presentes y futuras. El
conocimiento del estado en algún punto inicial,t0, más el conocimiento de las entradas al sistema después
de t 0 , permiten la determinación del estado en un tiempo posterior t1. Así que el estado en t0 constituye una
historia completa del sistema antes de t 0 , en la medida que esa historia afecta la conducta futura. El
conocimiento del estado presente permite una separación bien definida entre el pasado y el futuro.
En cualquier instantefijo, el estado del sistema puede describirse mediante los valores de un conjunto de
variables xi, denominadas variables de estado. Las variables de estado pueden tomar cualquier valor
escalar, real o complejo y se definen como un conjunto mínimo de variables x1 , x2 , , xn cuyo
conocimiento en cualquier tiempo t0 y el conocimiento de la excitación que se aplique posteriormente, sonsuficientes para determinar el estado del sistema en cualquier tiempo t > t0.
Cuando un grupo de ecuaciones diferenciales ordinarias que representan un sistema físico dinámico está
expresado en la forma

xi  f i x1 , x2 ,  , xn ; u1 , u 2 ,  , u m , i  1, 2,  , n,

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se dice que el grupo de ecuaciones está en la forma normal. Las variables xi (i = 1, 2,  , n) son las
variables deestado y las variables uj (i = 1, 2,  , m) son las funciones de entrada o de excitación. Si el
sistema es lineal, las ecuaciones pueden escribirse en la forma
n


xi 


j 1

m

aij x j 

b
k 1

ik u k

i  1, 2,  , n

o en forma matricial

x(t )  Ax(t )  Bu(t )

(2.1)

en donde el conjunto de variables de estado se describe mediante un vector de estado

 x1 (t) 


 x 2 (t ) 
x(t ) 




 x n (t )



(2.2)

Este vector pertenece a un espacio n-dimensional, el espacio de estados, y el conjunto de variables de
entrada o de excitación se describe mediante un vector de excitación o de entrada

u1 (t ) 


u 2 (t ) 
u(t ) 




u m (t )



(2.3)

A es una matriz de dimensión n  n y se denomina...