Sistemas amortiguados

OSCILACION AMORTIGUADA EN UN SISTEMA RLC

Circuito RLC (sin fuente)
Para desarrollar matemáticamente este circuito, primeramente se debe analizar cada uno de sus componentes de forma individual.La expresión matemática que describe la resistencia es:
(Ley de Ohm)
El comportamiento del capacitor es descrito por:

El inductor (bobina) puede ser representada por :

En conjunto yaplicando la Ley de tensiones de Kirchoff, tenemos:

Sustituyendo las caídas de tensión de la expresión anterior tendríamos:

Ahora, derivando la ecuación anterior para obtener una expresión máshomogénea obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial de segundo orden se puede resolver aplicando Laplace y luego Laplace inverso, además se sabe de antemano que vatener dos soluciones (reales o complejas) que se pueden hallar utilizando fórmula general. También se podría utilizar, en el caso de no ser homogénea (igualando a una tensión según la malla delcircuito) el método de variación de parámetros o coeficientes indeterminados.
De esta forma:
(Factor integrante)
Una vez identificado el factor integrante y haciendo uso de dos coeficientes (A yB) ,obtenemos :

Para simplificar aún más esta expresión se podrían factorizar los términos L y AeBt (dividir todo entre L y AeBt), quedando la ecuación de la siguiente manera:

Ya en esta formatan simple, la ecuación se puede solucionar utilizando fórmula general, tal y como se resume a continuación:

B=-b±b2-4ac2a
En donde el discriminante (término que nos indica si las solucionesson reales o complejas) es:
∆ =
Sistema sobre –amortiguado
Este efecto ocurre si la resistencia es grande comparada con la inductancia, de esta forma la energía se disipa al instante (calor).Además si la inductancia es muy pequeña en relación a la resistencia hay muy poca energía inicial. En ambas casos se pierde la energía tan rápidamente que no llega siquiera a ocurrir una sola...