Sistemas Amortiguados

Casos

[editar] Oscilador armónico sin pérdidas

Artículo principal: Movimiento armónico simple.

Se denominará a la masa e a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: (ley de Hooke). es la fuerza y la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando espositiva la fuerza está dirigida hacia las negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:




remplazando la fuerza obtenemos:




La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemosarbitrariamente "coseno". La solución se escribe:



La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo están las curvas de las energías. En azul está la energía cinética y en rojo la energía potencial del resorte
es la amplitud, que depende de las condiciones iniciales.
es la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia.
es eltiempo.
es la fase inicial (para ).

Es fácil comprobar que el valor de es:

El período de oscilación es:

Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba),la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

[editar] Oscilador armónico amortiguado



Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.

Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior seprolongaría indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento). Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición.Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

Donde es un coeficiente que mide elamortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene derivadassegundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :
Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

[editar] Oscilador sobreamortiguado



Posición en función del tiempo de unoscilador armónico amortiguado.


curva azul: amortiguamiento crítico.



curva roja: amortiguamiento doble que el crítico.



curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.


En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por...