Sistemas Axiomáticos

SISTEMAS AXIOMÁTICOS

Reseña y Definición de Sistemas Axiomáticos
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto
La antigüedad de la Geometría se remonta a losbabilonios y egipcios, pueblo que entre los años 2000 y 200 A.C. hicieron uso práctico de la misma como una respuesta a problemas cotidianos.
Cuando surge la necesidad de efectuar medidas de objetos o extensiones de tierra, el hombre comienza a crear abstracciones como el punto, la recta y el plano. Se establece así un puente entre las formas que a diario el hombre observa y las representacionessimbólicas que utiliza para referirse a ellas.
Los conocimientos desarrollados por los babilonios y egipcios fueron transmitidos a la civilización griega, en cuyo seno no son sólo asimiladas, sino que son objeto de profunda reflexiones que produjeron avances significativos de la Geometría. Los griegos desarrollaron la Geometría como una ciencia lógica y fueron responsables de la demostración de muchosteoremas. A pesar de que los griegos desarrollaron otras áreas de la matemática, la geometría fue perfeccionada a tal grado que la influencia de los antiguos matemáticos griegos se ha mantenido durante 20 siglos. Es la época de los grandes filósofos griegos entre quienes se destacan Thales de Mileto, Pitágoras, Anaxágoras, Demócrito, Hipócrates, Platón.
Durante los dos últimos siglos el métodoaxiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas fueron provistas de los que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidadde proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.
Se denomina sistema axiomático al procedimiento mediante el cual las ciencias formales, teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. Si en cambio se consideranestáticamente los resultados de la aplicación del método, es decir, su aspecto estructural, se estaría analizando deductivos o formales.
El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; losteoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica.
La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas.
Lo característico del sistemaaxiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema (definiciónque precede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación) constituyen la base primitiva del sistema.
Aristóteles llama axiomas a las proposiciones indemostrables, evidentes en sí mismas (inmediatamente verdaderas) que sirven de principios a los teoremas (verdades deducidas o mediatas) de una teoría...