Sistemas Carlos 0910

1 Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en todos los campos y
ciencias y ya desde a. C. se tenían métodos para resolver los sistemas. Estudiaremos sobre todo
el método llamado de eliminación gaussiana o de Gauss, porque es la base de los
procedimientos que se utilizan para resolver un sistema con elordenador y asimismo para el
estudio de los temas que siguen, Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales.
2.1-INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES
El término lineal proviene de línea recta que es la expresión más simple de una ecuación
y que puede escribirse de la forma
a1 ⋅ x + a2 ⋅ y = b
donde a1, a2 (coeficientes) y b (término independiente) son ctes. tal que a1 y a2 no son
simultáneamente cero.Dicha ecuación se llama ecuación lineal de incógnitas x e y.
En general una ecuación lineal es cualquiera de la forma
a1 ⋅ x1+ a2 ⋅ x2 +...........+ an ⋅ xn = b
donde las variables x1, x2, .... xn (incógnitas) aparecen elevadas a la primera potencia y no son
funciones trascendentes (lnx, cosx, ex etc. ) ni existen productos, ni raíces de las variables.
A menudo tenemos necesidad de resolver variasecuaciones lineales al mismo tiempo,
una colección finita de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1, x2, .... xn se llama un sistema
de ecuaciones lineales o sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas:
a11x1 + a12x2 +...........+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +.......…+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 +.......…+ a3nxn = b3
....…………................................……………….....................................................…………….…

am1x1 + am2x2 +..…...+ amn xn = bm
donde los coeficientes y términos independientes pertenecen en nuestro caso a .
Ejemplo 2-1
3x1+ 2x2– 5x3 = –4
–x1– 2x2+ 5x3 = 2
Sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas, donde las variables vienen
relacionadas con operaciones de suma y resta.
Ejemplo 2-2
3x – lny = 1
–2x + 4 ey = –2

Fundamentos Matemáticos
Matemáticos IC. Hoyal

2 Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 2

Sistema no lineal, ya que las ecuaciones tienen funciones trascendentes (lny, ey), es un
sistema de ecuaciones sin más.
Ejemplo 2-3
x – y + 2z = 0
3x + y – 3z = 0
–2x + 3y – 4z = 0
Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, términos independientes todos
nulos (sistema homogéneo).
Ejemplo 2-4
2x – y + 3z = 2
–3x +

2
– z = –1
y
y + 2z= 4

No es un sistema lineal, pues aparecen incógnitas multiplicadas.
Los sistemas admiten una ecuación de matrices: A ⋅ X = B








 x1 
a11 a12 a13 ..... a1n     b1 
 x2  
a 21 a 22 a 23 ..... a 2n     b2 
⋅  x3  =
⇔ A ⋅ X=B
... ... ... ..... ...     .. 
 ..
 
a m1 a m2 a m3 ..... a mn     bm 
 xn 

La matriz



A= 




a1n 

..... a 2n ..... ... 

..... a m n 

a11 a12 a13 .....
a 21 a 22 a 23
...

...

...

a m1 a m2 a m3

se llama matriz de los coeficientes

 x1 
 
 b1 
 
x2 
b2 


X = x 3 matriz de las incógnitas y B =   matriz de términos independientes.
 
..
 
 .. 
b 
 
 m
xn 
También se utilizará



A′ = 




a11 a12 a13 ..... a1n

b1

a 21 a 22 a 23 ..... a 2n

b2

... ... ... ........
a m1 a m2 a m3 ..... a mn

...
bm








matriz ampliada.

Toda matriz representa un sistema lineal y todo sistema lineal se puede representar
por su matriz ampliada.
Fundamentos Matemáticos
Matemáticos I

C. Hoyal

3 Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 2

Ejemplo 2-5

5
1y − 3z = 5
 0 1 −3




Dada la matriz D =  1 −4
0 −1  el sistema asociado es 1x −4y
= −1
3x +2y − 7z= 1
 3 2 −7 12 



En forma matricial:

 0 1 −3

0
 1 −4
 3 2 −7


 x
 5
 


 ⋅ y  =  −1  ⇔ A ⋅ X = B
 z 
 12 
 



Ejemplo 2-6
El sistema

3x + 2y − 4z = −7
− 2x − 5y + z = 5

 3 2 − 4 − 7

 − 2 − 5 1 5

la matriz asociada es F = 

x
 3 2 −4     −7 

 ⋅  y =   ⇔ A⋅X = B
 −2 − 5 1   z   5 
 
Se llama solución de un sistema lineal a...