Sistemas coordenados

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Sistemas coordenados

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS COORDENADOS
SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
Existe una correspondencia biyectiva o biunívoca entre el conjunto de los números reales y el de los puntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido y en donde se pueden ubicar todos losnúmeros reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Gráficamente esto es:

P4

P1

P2

P3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

La notación habitual para localizar un punto es: marca.

P (−2.6), P2 (0.5), P3 (4.7 ), P4 (−5) , simplemente se localiza su respectivo valor en la numeración y se le 1

P(x ) . Por ejemplo, para ubicar los puntosSe define como abscisa de un punto a la distancia del origen al punto en magnitud y signo. La distancia dirigida (dd ) que existe de un punto inicial:

P a un P2 viene dada por el valor final menos el 1

dd = P2 − P . 1 P y P2 está dada por el valor final menos el inicial pero en valor 1

La distancia (d ) entre dos puntos absoluto, esto es:

d = P2 − P1 .

Es decir, la diferencia queexiste entre distancia dirigida y distancia entre dos puntos es que en la primera se toma en cuenta el signo y su magnitud, y en la segunda sólo se toma su magnitud. Se mide en unidades (u ). Ejemplo. Encontrar la distancia dirigida y la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1) P 3 y 1 Solución:

()

P2 (−6)

dd = −6 − 3 = −9 u . y d = − 6 − 3 = − 9 = 9 u.
1

Facultad deContaduría y Administración. UNAM

Sistemas coordenados

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2)

P (− π) 1

y P2  −

 35    6 

Solución:

35 ≈ 5.8333 6 dd = −5.8333 − (−3.14159) = −2.69 u .

−π ≈ −3.14159

y

−

d = − 5.8333 − (− 3.14159 ) = − 2.69 = 2.69 u .

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
Es un sistema formado por dos ejes numéricos perpendiculares donde suorigen es el punto en que se cruzan. Se genera estableciendo una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los elementos de todas las parejas ordenadas de números reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de una infinidad de puntos.
y
5

Cuadrante II (-, +)

4 3 2 1

Cuadrante I (+, +)

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2

1

2

3

4

5

xCuadrante III (-, -)

-3 -4 -5

Cuadrante IV (+, -)

El eje vertical ( y ) recibe el nombre de eje de las ordenadas.

Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. El eje horizontal ( x ) recibe el nombre de eje de las abscisas.

Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notación: P (x , y )

Ejemplo. Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano:

 8  P1 (2 ,4 ),P2  − , − 2  , P3 (− 1,1), P4 (3,− 4 ), P5 (− 5, π ), P6 (0 ,2 ), P7 (4.5,0 )  3 
Solución:

2

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Sistemas coordenados

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y
5 P5 (-5, π) P6 (0,2) P3 (-1,1) -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 1 2 3 P7 (4.5,0) 4 5 P1 (2,4)

-1 -2

x

P2 (-2.66,-2)

-3 -4 -5 P4 (3,-4)

Ejemplos. Dados los siguientesconjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente: 1) A = {1, 2 ,3 }, B = { 0 ,1, 2 } Solución. El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas ordenadas. A × B = { (1,0 ) ,(1,1),(1, 2 ),(2 ,0 ),(2 ,1),(2 , 2 ),(3,0 ),(3,1),(3, 2 ) } Gráficamente esto es:
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

x

2) A = { x

1 ≤ x ≤ 3,x ∈ R } , = B = y

{

0 ≤ x ≤ 2, y ∈ R }

Solución. El conjunto solución a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada tanto en x como en y . Gráficamente esto es:

3

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Sistemas coordenados

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5

x

3)...