Sistemas De Colas

PROBLEMAS DE TEORIA DE COLAS

1. Supongamos que un sistema de colas tiene dos servidores, la distribución de tiempo entre llegadas es exponencial, de media 2 horas, y distribución de tiempos de servicio exponencial de media 2 horas. Sabemos que un cliente ha llegado a las 12:00 de mediodía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada sea antes de la 1:00pm?, ¿Entre 1:00 pm y 2:00pm?, ¿Después de las 2:00pm?
b) Supongamos que no llegan más clientes antes de la 1:00 pm ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada sea entre 1:00pm y 2:00pm?
c) Cual es la probabilidad de que el número de llegadas entre 1:00pm y 2:00pm sea cero?, ¿Uno?, ¿Dos o más?.
d) Supongamos que a la 1:00 pm ambos sirvientes están atendiendo clientes.¿Cual es la probabilidad de que ninguno delos 2 clientes haya completado su servicio antes de las 2:00 pm?, ¿Antes de la 1:10pm?, ¿Antes de la 1:01pm?

2. Una tienda de alimentación tiene un único dependiente. Los clientes llegan a la tienda según una distribución de Poisson de tasa media 30 por hora. Cuando solamente hay un cliente, éste es atendido por el dependiente con un tiempo de servicio esperado de 1.5 minutos. Sin embargo, cuandohay más de un cliente en la tienda, se ha dado instrucciones al encargado del almacén para que ayude al dependiente a envolver los productos comprados. Esta ayuda reduce el tiempo de servicio empleado a 1 minuto. En ambos casos, la distribución de los tiempos de servicio es exponencial.
a) Construir el diagrama de flujos para este sistema de colas.
b) ¿Cual es la distribución de probabilidaddel nº de clientes en la tienda en el estado estacionario?
c) Obtener Ls (longitud esperada del sistema) para este sistema. Utilizar la información obtenida para determinar Lq, Ws y Wq

3. Una compañía aérea tiene dos empleados que recogen las reservas de billetes que se realizan por teléfono. Además una llamada puede situarse en una línea de espera hasta que uno de los empleados quede libre paraatenderla. Si las 3 líneas telefónicas (las dos de los empleados y la línea de espera) están ocupadas, un cliente potencial recibe una señal de que el sistema está ocupado y la llamada se pierde. Se supone que las llamadas llegan según una distribución de Poisson de tasa media de 15 por hora. La duración de una conversación telefónica tiene una distribución exponencial de media 4 minutos.
a)construir el diagrama de flujos para este sistema
b) Hallar la probabilidad de estado estable de:
i) Una llamada sea atendida inmediatamente
ii) Una llamada se pase a la línea de espera
iii) Una llamada reciba señal de ocupado.

4. Una tienda en la que se realizan fotocopias está abierta 5 días a la semana. Disponen de 3 máquinas idénticas, pero solamente hay 2 operadores trabajando con ellas,de forma que la 3ª máquina sólo se usa cuando alguna de las otras dos se estropea. Cuando una máquina está en servicio, el tiempo hasta que se estropea sigue una distribución exponencial de media 2 semanas. Si la máquina se estropea mientras las otras 2 están operativas, se llama a un técnico para su reparación cuyo tiempo medio hasta que se repara sigue una distribución exponencial de tasa media0.2 semanas. Sin embargo, si una 2ª máquina se estropea antes de que la 1ª se haya arreglado, la 3ª máquina se para mientras que los 2 operadores trabajan juntos para arreglarla rápidamente. La distribución del tiempo que transcurre hasta que los dos operadores consiguen arreglar ésta 2ª máquina es exponencial de media únicamente 1/15 semanas. Si el técnico acaba de arreglar la 1ª máquina antesque los 2 operadores terminen el arreglo de la 2ª, los operadores vuelven a hacer servir las 2 máquinas operativas, mientras que el técnico termina el 2º arreglo, en cuyo caso el tiempo restante de arreglo sigue una distribución exponencial de media 0.2 semanas.
a) Suponiendo que los estados del sistema son el número de máquinas que no están funcionando, construir el diagrama de flujos.
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