sistemas de control pid

Regulación automática. Tema 1. Implementación digital de controladores PID. Roberto Sanchis.

Tema 1. Implementación digital de
controladores PID.
1. Definición.
Hoy en día prácticamente el 100% de los controladores automáticos que funcionan en la industria son
digitales. El siguiente esquema representa un sistema de control digital, también llamado control por
computador:

Computadorr(kT)

e(kT)

Controlador
digital

u(kT)

u(t)
Retenedor

y (kT)
m

Proceso
continuo

y(t)

y (t)
m

y(t)

Sensor

El computador obtiene una medida del sensor cada T segundos, y calcula con ella el valor de la acción de
control (u(kT)). El bloque retenedor no es más que un convertidor digital analógico, que da como salida
una tensión u(t) constante hasta el siguienteperiodo.

y(t)
o

o

o o

o o

o o

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T

t

u(t)
u(T)

u(5T)
u(6T)

u(2T)

T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

t

Ventajas del control por computador respecto del control analógico:
• Permite comunicación en red (control centralizado).
• Incorpora otras funciones
- Monitorización
- Almacenamiento de variables (generación de informes)
-Tratamiento de alarmas
- Supervisión

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Regulación automática. Tema 1. Implementación digital de controladores PID. Roberto Sanchis.
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Es mucho más flexible
Permite controladores más avanzados que requieren cálculos complejos:
- Controladores adaptativos.
- Control basado en lógica borrosa.
- Sistemas expertos.
- Controladores no lineales.
Son equipos comerciales estándar
Cadavez son más baratos y más potentes.

El controlador digital se implementa físicamente como un algoritmo programado en el computador,
que obtiene la secuencia de valores u(k) a partir de la secuencia de valores e(k). Una posibilidad es una
ecuación en diferencias lineal (función de transferencia discreta) entre la señal e(k) y la señal u(k). Otra
posibilidad es un algoritmo de control porrealimentación del estado, que se explicará más adelante.

2. Discretización de controladores PID continuos.
Para poder implementar en un computador un controlador PID continuo (diseñado por ejemplo mediante
el lugar de las raíces), es necesario obtener una ecuación en diferencias discreta a partir de la ecuación
diferencial continua que define el controlador. Se llama discretización a la acciónde obtener una
ecuación en diferencias (controlador discreto) que aproxime el comportamiento de una ecuación
diferencial (controlador continuo).
La ecuación diferencial de un regulador PID continuo es:

⎛
de 1
+
u (t ) = K p ⎜ e(t ) + Td
⎜
dt Ti
⎝

⎞

t

∫ e(τ )dτ ⎟
⎟
⎠
0

⎛
1 ⎞
⎟
⇒ C ( s) = K p ⎜1 + Td s +
⎜
Ti s ⎟
⎝
⎠

La aproximación discreta consiste en aproximarla ecuación diferencial anterior obteniendo u(kT) a partir
de los valores de e(t) en los periodos de muestreo (es decir, a partir de e(T), e(2T), etc.).
La aproximación más fácil de la derivada es:

de(kT ) e(kT ) − e((k − 1)T )
≈
dt
T

Mientras que la integral se puede aproximar como:

∫

kT

0

k −1

e(t ) dt ≈ ∑ e( jT ) ⋅ T
j =0

De esta forma se tendría:

u (kT ) ≈ K pe(kT ) + K pTd

e(kT ) − e((k − 1)T ) K pT
+
T
Ti

k −1

∑ e( jT )
j =0

es decir

u k ≈ K p ek + K pTd

ek − ek −1 K pT
+
T
Ti

k −1

∑e
j =0

j

Se puede obtener una expresión más compacta restando uk-uk-1:

ek −1 − ek − 2 K pT k − 2
+
∑ej
T
Ti j = 0
e −e −e +e
uk − uk −1 ≈ K p (ek − ek −1 ) + K pTd k k −1 k −1 k − 2
T
K T
+ p ek −1
Ti
uk −1 ≈ K p ek −1+ K pTd

que se puede poner como:

uk = uk −1 + q0ek + q1ek −1 + q2ek −2
donde:

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Regulación automática. Tema 1. Implementación digital de controladores PID. Roberto Sanchis.

⎛ T ⎞
q0 = K p ⎜1 + d ⎟
T ⎠
⎝
⎛
T
T ⎞
q1 = K p ⎜ − 1 + − 2 d ⎟
⎜
Ti
T ⎟
⎠
⎝
T
q2 = K p d
T
El procedimiento de discretización de controladores PID descrito anteriormente se basa en la...