Sistemas de control

Tema 2

Análisis Dinámico de Sistemas
2º Ing. Telecomunicación

Octubre de 2003

Análisis Dinámico de Sistemas (2º Teleco, EPSIG)

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
definición de la RAE Modelo: (definición de la RAE)
4. m. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elaborapara facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
modelo dinámico Modelo Dinámico
Un modelo dinámico constituye una descripción, generalmente matemática, del comportamiento dinámico un sistema. • Uno de los modelos dinámicos más típicos en Ingeniería es laEcuación Diferencial • En muchos procesos y sistemas son necesarias varias ecuaciones diferenciales para describir adecuadamente la dinámica

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
principio de simplicidad
• Casi siempre, los modelos son aproximaciones más o menos precisas del proceso. • Depende de qué se “tenga en cuenta”y qué se “desprecia” en el modelo (ej. a veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.) ¿qué debemos despreciar?

simplicidad

precisión
• Estudiar el contexto del problema • ¿qué factores importan? • ¿qué factores pueden despreciarse? • ¿qué simplificaciones son asumibles?

Navaja de Occam:
Buscar el modelo más simple posible que describa suficientemente los factores que necesitamosanalizar en función de nuestro problema
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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
ecuación diferencial
De una forma muy general, un sistema SISO puede modelarse según una ecuación diferencial del tipo

Gráficamente,

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EcuacionesDiferenciales y Dinámica
ejemplo de sistema dinámico: masa en movimiento
segunda ley de Newton: F(t)
causa (entrada)

Sistema Sistema (masa) (masa)

x(t)
respuesta (salida)

F(t)

m
x(t)

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
ejemplo de sistema dinámico: depósito
[Ogata, p. 125]
caudal de entrada caudal desalida qs(t)

qe(t)
causa (entrada)

h(t) depósito depósito qs(t)
respuestas (salidas)

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Ecuaciones Diferenciales y Dinámica
ejemplo de sistema dinámico: sistema de amortiguación
[Ogata, p. 114] xi(t)
causa (entrada)

vehículo vehículo

xo(t)
respuesta (salida)

m x0

K

b

xi
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Linealidad y Superposición
Un sistema es lineal si y solo si verifica el principio de superposición:

si

entonces

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Linealidad y Superposición
La siguiente ecuación diferencial

se denomina Ecuación Diferencial Lineal de coeficientes constantes(EDL-CC) Este modelo matemático: • verifica la propiedad de superposición • describe con precisión la dinámica de muchos sistemas físicos
Ejercicio: Demostrar la linealidad de la EDL-CC comprobando que verifica el principio de superposición
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Linealidad y Superposición
Sistemas Lineales
• Muchos sistemas son linealespor naturaleza • Existen métodos eficientes para trabajar con sistemas lineales

Sistemas No Lineales
• También muchos sistemas son no lineales (ej: el depósito: demostrar que el depósito es un sistema lineal y que los ejemplos de la masa y del sistema de amortiguación son lineales) • Para sistemas no lineales no son aplicables muchos de los métodos de análisis y modelado

Linealización...