Sistemas De Control

Linealización Exacta de Sistemas de la Forma Canónica Controlable

Dado un sistema lineal representado de la siguiente forma:
X1=X2
X2=X3
⋮
Xn-1=XnXn=Fnx1….,nn+ugn (x1….,xn) (1)
Son exactamente linealizables mediante una redefinición de la variable de control en términos del estado y una entrada auxiliar externa.
Esta redefiniciónpuede ser interpretada de dos maneras: tanto como un proceso de realimentación no lineal, como un proceso de transformación de la coordenada de la variable de control.
Como vemos en el sistema (1),este exhibe una cadena de integración pura, además que la variable de control está adscrita a la última ecuación diferencial. Por tanto un sistema con tal estructura es llamado: Sistema no lineal de laFCC.
El siguiente diagrama de bloques muestra la estructura impuesta:

Por tanto para abordar este problema, definimos una variable auxiliar v como:
v=Fnx1….,nn+ugn (x1….,xn)
Quedando la últimaecuación diferencial del sistema como:
X=X2
X=X3
⋮
Xn-1=Xn
Xn=v

A tal estructura del sistema, se le llama Forma Canónicade Brunovsky. Por consiguiente la variable auxiliar v, puede sintetizarse como una ley de control que realimenta linealmente las variables de estado:
Quedando de la siguiente manera:
v=-a1x1-a2x2-…-an-1xn-1-anxn) (2)
Donde los coeficientes del control a1,…an, son tales que el sistema en lazo cerrado debe ser estable. Donde la ecuación (2) del sistema está determinada por laubicación de las raíces del polinomio característico:
ps=sn+ansn-1+…+a2s+a1
Si se cumple que todas las raíces del polinomio son estables, diremos que el polinomio ps es Hurwittz. Si hacemos lacomparación de la última ecuación diferencial del sistema (1) con la ecuación (2), tenemos:
Fnx1….,nn+ugn x1….,xn=v=-a1x1-a2x2 -…-anxn (3)
Por tanto si despejamos el control u de la ecuación (3),...