Sistemas de Coordenadas

Apéndice II
Otros sistemas de coordenadas
En este apéndice incluiremos tres nuevos sistemas de coordenadas muy importantes, uno de ellos en el plano y los otros
dos en el espacio. Estos dos últimos desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan con
integrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

1Sistema de coordenadas polares
Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo)
y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).

Figura 1

A cada punto P del plano puede asignársele un par de coordenadas, (r , θ ), llamadas coordenadas polares del punto P
y tales que:
r: distancia dirigida de O a P.
è: ángulo(positivo o negativo y expresado en radianes) formado por el eje polar y el rayo OP (figura 1b).

Observaciones:
i.

Para un ángulo dado è, la coordenada r puede ser positiva o negativa, dependiendo de si se toma sobre OP o
sobre su prolongación. En la figura 2 se ilustra esta situación para diferentes puntos en el plano polar.

Elementos básicos de cálculo integral y series

439

Figura2

ii.

Un punto P(r , θ ) en coordenadas polares puede tener diferentes representaciones según la escogencia que se
haga de las coordenadas r y θ.

⎛ π⎞
Así por ejemplo, el punto P ⎜ 3, ⎟ (figura 3a) puede tener las siguientes representaciones:
⎝ 4⎠
3π ⎞
⎛ π⎞
⎛
P ⎜ 3, ⎟ ⇔ P ⎜ −3, − ⎟
1
4 ⎠
⎝ 4⎠
⎝

(figura 3b)

5π ⎞
⎛
⇔ P2 ⎜ −3, ⎟
4 ⎠
⎝

(figura 3c)

7π ⎞
⎛
⇔ P3 ⎜ 3,− ⎟
4 ⎠
⎝

(figura 3d)

⎛ 9π ⎞
⇔ P4 ⎜ 3, ⎟
⎝ 4 ⎠

(figura 3e)

De aquí se deduce que no existe una correspondencia biunívoca entre los puntos P(r ,θ ) y los puntos del plano,
como sí se cumple en el sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 3

440

1.1 Relación entre las coordenadas rectangulares y polares
Para establecer la relación existente entre los sistemas decoordenadas polares y rectangulares, hacemos coincidir inicialmente los dos planos. Es decir, el polo del plano polar coincidiendo con el origen del plano cartesiano y el eje polar con el
eje x (figura 4).

Figura 4

De esta forma para el punto P podemos establecer las siguientes relaciones, que se deducen fácilmente de la figura 4;
x2 + y 2 = r 2 ⇔ r = ±

x2 + y2 .

(1)

tan θ =

y
⎛ y⎞⇒ θ = tan −1 ⎜ ⎟ .
x
⎝x⎠

(2)

cos θ =

x
⇒ x = r cos θ.
r

(3)

sen θ =

y
⇒ y = r sen θ.
r

(4)

Si conocemos las coordenadas rectangulares del punto P( x, y ), entonces usando (1) y (2) podemos determinar
las coordenadas polares P(r , θ ) del mismo punto.
Si conocemos las coordenadas polares P(r , θ ) del punto, entonces usando (3) y (4) podemos determinar lascoordenadas rectangulares P ( x, y ) del mismo punto.

Ejemplo 1
Escriba en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares:

a.

P (3, π).
1

b.

3π ⎞
⎛
P2 ⎜ 2, − ⎟ .
4 ⎠
⎝

Elementos básicos de cálculo integral y series

441

Solución
a.

Como r = 3 y θ = π , se sigue entonces de (3) y (4) que:

x = r cos θ ⇒ x = 3 ⋅ cos π = −3,
y = r sen θ ⇒ y =3 ⋅ sen π = 0.
En consecuencia, el punto P (3, π) en coordenadas polares tiene su homólogo P (−3, 0) en coordenadas
1
1
rectangulares.

b.

Como r = 2 y θ = −

3π
, se deduce entonces de (3) y (4):
4

⎛ 3π ⎞
2 cos ⎜ − ⎟ = 1,
⎝ 4 ⎠
⎛ 3π ⎞
y = r sen θ = 2 sen ⎜ − ⎟ = −1.
⎝ 4 ⎠

x = r cos θ =

3π ⎞
⎛
En consecuencia, el punto P2 ⎜ 2, − ⎟ en coordenadas polares tiene suhomólogo P2 (1, −1) en coordenadas
4 ⎠
⎝
rectangulares.
Ejemplo 2
Escriba en polares (r > 0, 0 ≤ θ < 2π) los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares:
a.

P (− 3,1).
1

b.

P2 (−2, −2 3).

Solución
En la figura 5 aparecen los puntos localizados en el plano cartesiano, los cuales nos ayudarán a determinarlos en coordenadas polares.

Figura 5

442

a.

Como x = − 3...