Sistemas de coordenadas

UNIDAD 2 SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS
PROPÓSITOS: Mostrar una visión global del método de la Geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos. Proporcionar los elementos que servirán el las unidades posteriores para emplear el método en situaciones más complejas. INTRODUCCIÓN Los griegos desarrollaron lageometría estableciéndola como el primer cuerpo de conocimientos científico. Euclides (del que se sabe que vivió alrededor del año 300 antes de nuestra era), en su obra “Los elementos”, logra que a partir de un pequeño grupo de definiciones, postulados y nociones comunes, tales como: “punto es aquello que ya no tiene parte” (definición); “Dado un centro y un radio se puede construir una circunferencia”(postulado) y “Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si” (noción común), y apoyado en la lógica, deduzca cerca de 500 teoremas. Con lo anterior estableció un método, conocido como el método axiomático, mediante el cual logró que todos los conocimientos sobre geometría tuvieran una base sólida. Lo que se trató en las Unidades II, III y IV del curso de Matemáticas II tiene sus bases en esageometría. La geometría planteada en “Los elementos” es conocida como geometría sintética. Cuando los griegos desarrollaron la geometría, no existía el álgebra. Francisco Vieta (1540-1603) fue quien escribió el primer libro sobre el tema en 1591. Eso posibilito que Rene Descartes (1596-1650) la utilizara para establecer la relación que se podía dar entre la geometría y el álgebra, estableciendo laGeometría Analítica. Descartes llegó a la conclusión de que las leyes de la naturaleza eran leyes de la mecánica, por lo que todo en la naturaleza podría ser reducido a las ecuaciones que describieran dichas leyes. Propuso como ideal de toda ciencia teórica, construir a partir del menor número de principios un sistema que cubriera todos los hechos conocidos y que condujera a nuevosdescubrimientos. Como es claro, propone lo que hizo Euclides para la geometría, como un fin de toda ciencia. Isaac Newton (1643-1727) logró este propósito con la física, en particular con su obra Philosophiae naturalis principia mathematica, de 1687, en la cual además funda el Cálculo Diferencial e Integral. En su obra: ”Reglas para la dirección del Espíritu”, describe su concepción de ciencia y su método paraobtenerla. En el “Discurso del método”, publicado en 1637, incluye como ejemplos de la potencia del método tres investigaciones: “Meteoros”, “Dioptrías” y “Geometría”. Es ahí en donde se encuentran las ideas centrales de lo que ahora conocemos como Geometría Analítica,

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En la historia de las Matemáticas puede verse claramente que los distintos conceptos y teorías, como los de variable,función y Geometría Analítica, no surgieron en su forma definitiva ni en la mente de Galileo, Newton o Descartes, ni de cualquier otro matemático. Estos conceptos y teorías los intuyeron muchos matemáticos y gradualmente fueron tomando formas más definitivas, precisas y generales. El nuevo período de la matemática, que comienza en el siglo XVII, puede ser definido como el período del nacimiento ydesarrollo del análisis. La creación y desarrollo de una teoría -y tanto más de una rama completa de la ciencia, como la del análisis matemático- requieren que los nuevos conceptos cobren una actividad propia, es decir, que entre ellos se descubran nuevas relaciones que permitan la solución de nuevos problemas. Es más, un nuevo concepto puede nacer, desarrollarse, comprenderse y precisarse sobre labase de los problemas que permite resolver. El primer paso definido hacia la matemática de las magnitudes variables fue la aparición de la “Geometría” de Descartes. Las ideas básicas de Descartes son las siguientes: supongamos que nos dan, por ejemplo la ecuación x 2 + y 2 = 52 Consideró a x y y como variables, por lo que la anterior ecuación expresa, en este sentido, la interdependencia de dos...