Sistemas de ecuaciones diferenciales - Jorge Mauricio Oviedo

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales –
Resolución por medio de Maple,
Matemática, Gauss, Matlab y Macros en
Excel

Jorge Mauricio Oviedo 1

Resumen: El presente trabajo tiene por objetivo brindar un
enfoque teórico accesible sobre Ecuaciones Diferenciales y su
implementación diversos Softwares. Para llevar a cabo dicha
tarea se presenta una revisión teórica de tal tópico y se procede aimplementarlo en todo tipo de software tanto algebraico y
numérico. Se exponen y se comparan alternativamente las
resoluciones numéricas contra las algebraicas evaluando la
eficiencia en cada programa. Se proveen además los códigos de
programación usados en cada Software.

Palabras clave: Ecuaciones Diferenciales, Modelo Depredador Presa, Solución General y
Particular, Métodos Numéricos,Runge-kutha, Maple, Mathematica, Matlab, Gauss, Excel,
Macros, Visual Basic
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joviedo@eco.unc.edu.ar

EJERCICIO Nº 8

1- INTRODUCCIÓN TEÓRICA2
1.1- ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial ordinaria (es decir con una sola variable independiente) es una
ecuación en donde los argumentos que intervienen son la variable independiente de una
función incógnita desconocida y lassucesivas derivadas de dicha función, es decir:
f ( x, y, y ', y '',..., y ( n ) ) = 0

donde el problema, a diferencia de una ecuación algebraica, consiste en averiguar quien
es y ( x) , es decir, aquí el arte consiste en hallar una función que satisfaga la condición
anterior y no simplemente un valor numérico como en el caso de una ecuación
algebraica.
Existen distintas maneras de clasificara las ecuaciones diferenciales: Una de ellas es la
clasificación por el orden de la ecuación (que viene dado por la derivada de mayor
orden
que aparezca en la expresión) y otra por la linealidad. Ésta última es quizás una de las
clasificaciones más importantes en el sentido de que permite caracterizar
inmediatamente la facilidad con que se pueden hallar sus soluciones. En este sentido, sepuede decir que las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden
resolverse solo en algunos casos especiales (como lo es el caso de las ecuaciones
diferenciales de Bernoulli, las exactas, las separables, las homogéneas, etc.) mientras
que las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden siempre pueden resolverse
de manera exacta. Pero la distinción es quizás mas relevantecuando se hablan de
ecuaciones de orden dos o superior ya que en el caso de ecuaciones lineales existe la
posibilidad de hallar una forma manejable de solución (ya sea exacta o en forma de
serie de potencias), mientras que en las no lineales, hallar una solución suele ser todo
un desafío. Esto no significa que una ecuación diferencial no lineal de orden superior
no tenga solución sino más bienque no hay métodos generales para llegar a una
solución explícita o implícita. Aunque esto parezca desalentador hay algunas cosas que
se pueden hacer tales como analizar cuantitativamente la ecuación no lineal (a través de
métodos numéricos) o cualitativamente (a través de diagramas de fases).
Pero aun quedan otras cuestiones que diferencian a una ecuación lineal de una no lineal
y es elhecho de que las segundas pueden tener soluciones singulares.

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La presente sección a sido elaborada en base al libro “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado” de Dennis Zill.

1.2- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Los sistemas de ecuaciones diferenciales también pueden clasificarse en lineales y no
lineales y de primer orden o de orden superior. Pero en esta situaciónmerece hacerse
una consideración ya que “todo sistema de orden superior a dos puede transformarse en
uno de orden uno mediante la simple redefinición y agregado de variables”. En
consecuencia, el tratamiento de sistemas de ecuaciones diferenciales puede enfocarse en
los sistemas de primer orden sin perdida de generalidad. Un sistema de ecuaciones de
primer orden puede representarse de la...