sistemas de ecuaciones lineales- metodos iterativos

Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales

Introducción

En esta lectura veremos procedimientos iterativos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El primero de ellos conocido como el procedimiento de Jacobi basado en la idea de punto fijo y un segundo procedimiento conocido como método de Gauss-Seidel el cual es una modificación simple del procedimiento de Jacobi.Introduciremos el concepto de matriz diagonalmente dominante el cual se relaciona con la garantía de convergencia en la aplicación de los métodos vistos. Veremos que en algunos casos es posible replantear el sistema para garantizar la convergencia. Asimismo se comentará en qué situaciones los métodos iterativos son más convenientes a los métodos directos.

Objetivos

Será importante que ustedEntienda los conceptos:
• Método iterativo,
• Ecuación de recurrencia,
• Convergencia,
• Matriz diagonalmente dominante

En términos cualitativos
• Entienda la diferencia entre un método directo y uno iterativo.
• Entienda la conveniencia de usar un método iterativo y uno directo.

Entienda y mecanice los procedimientos de
• Método de Jacobi, y
• Método de Gauss-Seidel.

GeneralidadesUn método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertosrequisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.

Método Iterativo: Un ejemplo

Considere el problema de encontrar una raíz a una ecuación cuadrática, por ejemplo:

f(x) = x2 − x − 2 = 0

Un métododirecto para resolverlo es aplicar la formula general




Un método iterativo es el método de Newton que consiste en usar la fórmula de mejora:




Si tomamos como primera aproximación x0 = 3 (para i = 0), tendremos





Si ahora tomamos como aproximación x1 = 2.2 y aplicamos de nuevo la formula tendremos:





Si ahora tomamos como aproximación x2 = 2.011 y aplicamos de nuevola fórmula tendremos:





Ventajas y Desventajas

Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta. También se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de cálculo,cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el número de iteraciones es relativamente reducido.


Método Iterativo General

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

1. Inicia con una solución aproximada (Semilla),
2. Ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir laaproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.
3. Se repite el paso anterior pero usando como semilla la aproximación obtenida.



Método de Jacobi:

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina laecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx … (1)

Donde x es el vector de incógnitas.


2. Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi...