Sistemas de Ecuaciones Lineales

UNIDAD 2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MATH 4 - ITVH

Al resolver sistemas de ecuaciones mediante eliminación por reducción, los coeficientes de las variables o incógnitas
desempeñan un papel central. El proceso se puede hacer más eficiente de manera general y para un trabajo de
computadora introduciendo una forma matemática denominada matriz. Una matriz es un arreglo rectangular denúmeros
escrito en paréntesis
o corchetes
.
Para resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  L  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x 2  a23 x 3  L  a2n xn  b2
a31 x1  a32 x 2  a33 x 3  L  a3n xn  b3

M
M
M L
M
M 
an 1 x1  an 2 x 2  an 3 x 3  L  ann xn  bn
M

M

M

L

M

M

am 1x1  am 2 x 2  am 3 x 3  L  amn xn  bm

 a11 a12a13 L a1n 
 b1 
a
 x
a22 a23 L a2n  1   b2 
21


 
 a31 a32 a33 L a3n   x 2   b3 

   
M  x 3    M
 M M M O


 an 1 an 2 an 3 L ann   M bn 

   
M M M O
M xn   M



{
am 1 am 2 am 3 L amn  X
bm 


 
144444444442 44444444443
{
A

o simplemente

A X  B

entonces

X  A 1B

donde

A 1

Bes la matriz inversa.

Por el método de eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y
Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado aotro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.
Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada". A continuación un ejemplo de
una matriz escalonada

 1 a12 a13 a14 
0 1 a a 
23
24 

0 0
1 a34 


Método de Eliminación de Gauss
Este algoritmo consiste en dos procesos:
a) Eliminación hacia adelante: Estafase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita a11 (coeficiente pivote). A
este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso 3: Nótese que el primer termino de laprimera ecuación es idéntico al primer término de la segunda. Por lo
tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a la segunda.
Paso 4: repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.
Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz
triangularsuperior.
b) Sustitución hacia atrás: Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más
manejable y se puede resolver despejando primero la xn y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda
incógnita hasta obtener el resultado completo del sistema.

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UNIDAD 2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MATH 4 - ITVH

Método de Gauss-Jordan

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Estemétodo también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El
método consiste en convertir el sistema expresado como matriz aumentada y trabajar para transformarlo en un la matriz
identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al
proceso de la eliminación gaussiana con ladiferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal
sino también los que están sobre de ella. Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la
matriz inversa de una matriz.
Nos enfocaremos en el método de eliminación de Gauss-Jordan, el objetivo es hacer la siguiente transformación:
OEER
 
 A B   I C 



donde I es la matriz identidad...