Sistemas De Ecuaciones Lineales
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Publicado: 20 de junio de 2012
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Elproblema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
1. Ecuaciones con dos incógnitas.
En este apartado vamos atratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.
Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitassoluciones.
Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.
Ejemplo:
Tabla de la 1ªEcuación
Tabla de la 2ª EcuaciónRepresentación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1
2. Sistemas de ecuaciones.
Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:
Se llamasolución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.
3. Sistemas equivalentes.
Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.
4. Número de soluciones de un sistema lineal.
4.1. Sistemas sin solución.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:
En este caso, nos dice por una parte que2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.
4.2. Sistemas con infinitas soluciones.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicenlo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:
(1) (2)
En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tenemos dos ecuaciones idénticas....
Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Elproblema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
1. Ecuaciones con dos incógnitas.
En este apartado vamos atratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.
El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = 7.
Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitassoluciones.
Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.
Ejemplo:
Tabla de la 1ªEcuación
Tabla de la 2ª EcuaciónRepresentación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1
2. Sistemas de ecuaciones.
Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:
Se llamasolución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.
3. Sistemas equivalentes.
Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.
4. Número de soluciones de un sistema lineal.
4.1. Sistemas sin solución.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:
En este caso, nos dice por una parte que2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.
Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.
4.2. Sistemas con infinitas soluciones.
Hay sistemas cuyas ecuaciones dicenlo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:
(1) (2)
En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tenemos dos ecuaciones idénticas....
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