Sistemas de ecuaciones lineales

OPERACIONES ELEMENTALES DE LAS MATRICES
Sea Amxn una operación elemental renglón sobre la matriz A, esta operación puede ser cualquier operación de los siguientes tres tipos: i. multiplicación de un renglón por un escalar ii. adición de un múltiplo de un renglón a otro renglón iii. intercambio de dos renglones cualesquiera NOTACIÓN: La primera operación se denota por: Ai → kAi en donde: k es unescalar Ai es el renglón i de la matriz A Para encontrar el término cij de la matriz resultante de multiplicar la matriz A por la matriz B :
cij = X a ik b kj
k=1 m

EJEMPLO: Obtener la matriz cuyo segundo renglón sea el duplo del de la matriz A y los otros sean los mismos.
h l j0

100 232 2 3 2 m l m l m j 2 0k 4 5 6k=j8 10 12k 001 111 1 1 1

i h

i h

i

EJEMPLO A partir de laprimera matriz, obtener la segunda:
h

232 2 3 2 l m l m j4 5 6kQj8 11 10k 111 1 1 1

i

h

i

SOLUCION Observamos que la segunda matriz es el resultado de sumar dos veces el primer renglón al segundo:
h

100 232 2 3 2 l m l m l m j2 1 0k 4 5 6k=j8 11 10k j 001 111 1 1 1

i h

i h

i

EJEMPLO:

Encontrar la matriz elemental que duplique a la tercera columna de la matriz Ay la substituya por la tercera columna original.
5 10 2 j k A =l1 4 3m 0 0 1
h i

SOLUCION:
h

5 10 2 1 0 0 5 10 4 l ml m l m j1 4 3kj0 1 0k=j1 4 6k 0 0 1 002 0 0 2

ih

i h

i

EJEMPLO: Encontrar una matriz elemental que substituya el segundo renglón de la matriz A por el resultado de sumar 4 veces el tercer renglón con dos veces el primer renglón: SOLUCION:
h

1 0 0 5 10 2 510 2 l ml m l m j2 0 4kj1 4 3k=j10 20 8k 001 0 0 1 0 0 1

ih

i h

i

EJEMPLO Obtener la matriz elemental que cambie el segundo renglón por el tercero SOLUCION
h

1 0 0 5 10 2 5 10 2 l ml m l m j0 0 1kj1 4 3k =j0 0 1k 010 0 0 1 1 4 3

ih

i h

i

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales lo podemos representar como sigue:
a11 x1 + a12 x 2 + …+ a1n x n =h1 a 21 x 1 + a 2 2 x 2 + …+ a 2n x n = h 2 ( a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + …+ a nn x n = h n A

Este es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, las cuales llamaremos x1 , x2 , x3 , ... , xn . Podemos representar este sistema de ecuaciones mediante el uso de matrices utilizando el siguiente modelo: Modelo General: A X = H donde: A es la matriz de coeficientes, X el vector de incógnitas y H esel vector de la parte no homogénea del sistema de ecuaciones. Entonces, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
a11 x1 + a12 x 2 + …+ a1n x n = h1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2n x n = h 2 ( a n 1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = h n X = x1 x 2 x 3 … x n a11 l la 21 A =l ( l j a n1
b

b

ct
i

h

a12 … a1n a 22 … a 2n m m m ( (m k a n2 … a nn
ct

H = h1 h 2 … h n

Si examinamosnuestro Modelo General, podemos ver que, efectivamente, representa a nuestro sistema de ecuaciones. Ya que si efectuamos la multiplicación de la matriz A por el vector X, obtenemos el vector H. EJEMPLO: Represente el siguiente sistema mediante el uso de matrices: 2x + 2y = 1 x– y=0 SOLUCION:
A= 2 2 1 @1
f g

x X= y

d e

H= 1 0

f g

Entonces:

AX = H = 2 2 1 @1

f

gd e f gx 1 y = 0

Existen varios Métodos Numéricos que nos ayudan a resolver sistemas de ecuaciones lineales. El más sencillo de éstos es el de Método de Substitución Directa.

METODO DE SUBSTITUCION DIRECTA
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + …+ a1 n x n = h1 a 21 x 1 + a 2 2 x 2 + a 2 3 x 3 + …+ a 2 n x n = h 2 ( a n 1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + …+a nn x n = h n

si despejamos x1 , x2 y x3 , obtenemos:
hf@fffxfffaffxfffffffffxff fffaffffffffffffffffffff ff ff f2 @f 13 f 3 @…@ a1n f n ffff fff ff fffffffff ff 1fff12 f fffffffffffffffff a11 hfffaffxfffaffxffffffffffff ffffffffffffffffffffffff f@f 21f f@fffff@…@ fffff ff ff f1 f f 23f 3 fffffa 2nfff ffff fff ff fffffffff x n x2 = 2 a2 2 xj= h j @ X a ji x i a jj
n

x1 =

fffffffffff...