SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

"SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES , CON TRES ECUACIONES Y 3 INCÓGNITAS",

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional R 3  . Enalgunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.
Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma quecada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.
Ejemplo
Resolver:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 3x+2y+z=15x+3y+4z=2x+y−z=1  
1) Se coloca como primera ecuación laque tenga 1  o −1  como coeficiente de x .
Si no hubiera ninguna se pone como primera ecuación la que tenga y  o z  con coeficiente 1  o −1 , y se cambia el orden de las variables. O tambiénpodemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de x .
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x+y−z=13x+2y+z=15x+3y+4z=2  
2) Se utiliza el método de reducción para las ecuaciones 1  y 2  (E1  y E2 ), con el objetivode eliminar la variable x  de la segunda ecuación:
E2 ′ =E2−3⋅E1 
 +    3x+2y+z=1−3x−3y+3z=−3 − − − − − − − − − − − − − − − −         −y+4z=−2  
3) Se repite el mismo procedimiento con E1 y E3 , para eliminar la variable x  de E3 :
E3 ′ =E3−5⋅E1 
 +    5x+3y+4z=2−5x−5y+5z=−5 − − − − − − − − − − − − − − − −         −2y+9z=−3  
4) Con las nuevas ecuaciones 2  y 3  (E2 ′   yE3 ′  ) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable y  de E3 ′  :
E3 ′′ =E3 ′ −2⋅E2 ′  
 + −2y+9z=−3   2y−8z=4 − − − − − − − − − − −               z=1  
5) Así pues, el sistemaescalonado equivalente al del enunciado es:
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x+y−z=1−y+4z=−2z=1  
6) Se resuelve desde la tercera ecuación hasta la primera:
E3:z=1 
E2:−y+4=−2⇒y=6 
E1:x+6−1=1⇒x=−4 
Es decir, los tresplanos cortan en un sólo punto (−4,6,1) 
Nota: Es habitual el uso de notación matricial para la resolución de este tipo de problemas. El enunciado del ejemplo anterior se escribiría:...