Sistemas de ecuaciones lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (2X2)
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:

donde x e y son las incógnitas, a, a’, b y b’ son los coeficientes y c y c’ son los términos independientes. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dosincógnitas puede ser: ⎧3x − y = −9 ⎨ ⎩2 x + 3 y = 5 Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que resten -9 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya suma sea 5. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vezlas dos

POSIBILIDAD DE SOLUCIONES
Una solución del sistema es un par de números “x” e “y” reales que al sustituirlos en las dos ecuaciones las verifiquen. Cuando un sistema tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario será incompatible. Los sistemas compatibles pueden tener una única solución o infinitas soluciones. El análisis de las diferntes soluciones de un sistema sería elsiguiente:

a) Infinitas soluciones, en este caso se llama sistema compatible indeterminado. Esto se producirá cuando todos los coeficientes que forman una y otra ecuación sean proporcionales, es decir : ( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 , c’ ≠ 0 porque no existe la división por cero ) Graficamente significaría que ambas rectas son la misma, son coincidentes. b) Solución única en este caso se llama sistemacompatible determinado. Los coeficientes de las incognitas no serán proporcionales , es decir:

a/a’ = b/b’ = c/c’

a/a’ ≠ b/b’ ( con a’ ≠ 0 y b’ ≠ 0 ) .
Graficamente significaría que ambas rectas se cortan en un único punto c) No tenga solución, en este caso se llama sistema incompatible. Los coeficientes de x e y serán proporcionales pero no a los términos independientes, es decir :a/a’ = b/b’ ≠ c/c’ ( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 y c’ ≠ 0)
Graficamente esto ocurrirá cuando las dos rectas no tengan puntos comunes es decir sean paralelas

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Existen cuatro métodos o técnicas básicas para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN MÉTODO DE IGUALACIÓN MÉTODO DE REDUCCIÓN (+ y -) MÉTODO DE DETERMINANTES

Cualquier método es aplicable atodo sistema. También podrá graficarse estas soluciones y tendrán correspondencia con las soluciones halladas por métodos algebraicos. ⎧3 x + y = 7 Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ⎨ ⎩ x + 2 y = −1 a este lo resolveremos aplicando los distintos métodos. OBSERVACIÓN: el método de determinantes, queda pendiente para ser estudiado en años posteriores.

MÉTODODE SUSTITUCIÓN

Consiste en despejar cualquiera de las variables de una de las ecuaciones y reemplazar o sustituir en la otra ecuación.

⎧3 x + y = 7 Ejemplo: Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema: ⎨ ⎩ x + 2 y = −1

NOTA: resultan más sencillos los cálculos si se despeja la variable que tenga coeficiente 1.

Despejando de la primer ecuación la variable “y” se obtiene:y = 7 − 3 x (*) x + 2.(7 − 3 x ) = −1

Sustituyendo en la segunda ecuación:

y aplicando distintas operaciones se llega: x + 14 − 6 x = −1 − 15 x= −5 ⇒ ⇒ − 5 x + 14 = −1 x=3

volviendo a la ecuación (*) se obtiene que y = 7 – 3.3 ⇒ y = -2

Entonces las soluciones son: x = 3 e

y = -2

Verificación:
⎧3 x + y = 7 se reemplaza por los valores obtenidos: En ⎨ ⎩ x + 2 y = −1 ⎧3.3 + ( −2)= 7 ⎧7 = 7 ⇒⎨ ⎨ ⎩3 + 2.( −2) = −1 ⎩− 1 = −1

Observaciones: podría haberse despejado la variable “x” de la segunda ecuación y el desarrollo hubiera sido análogo.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar de ambas ecuaciones una misma variable y luego igualar.

⎧3 x + y = 7 Ejemplo: Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema: ⎨ ⎩ x + 2 y = −1
NOTA: Es un método...