Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dosincognitas X y Y:
x +y =
x +y =
Donde ,,, , son números dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a una línea recta. Una solución al sistema es un par de números denotados por (x,y), que satisface al sistema.
Sistema con una solución única
Considere el sistema
x – y = 7
x + y = 5
Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuación 2x=12 (es decir x = 6).Entonces, si se despeja de la segunda ecuación, y = 5 – x = 5 – 6 = entonces y= -1. Así el par (6, -1) satisface el sistema.
Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistema
x – y = 7
2x – 2y = 14
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Para comprobar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Entonces x – y = 7 o y = x – 7. Así, el par (x, x – 7) es una soluciónal sistema para cualquier número real x. Es decir, el sistema tiene un número infinito de soluciones.


Eliminación de Gauss – Jordan
Es un método para encontrar todas las soluciones (si es que existen) de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Al hacerlo se verá que, igual que en el caso de 2 x 2, tales sistemas o bien no tienen solución tienen una solución o tienen un númeroinfinito de soluciones.
Ejemplo.
Ecuación de solución única
x + 2x + 3x = 9
4x + 5x + 6x = 24
3x +x – 2x = 4
1. Primero se simplifica el sistema multiplicando ambos lados de la primera ecuación por (-4) y sumando esta nueva ecuación a la segunda.
-4x -8x -12x = -36
4x + 5x + 6x = 24
- 3x – 6x = -12
La ecuación - 3x - 6x = -12 es la nueva segunda ecuación y el sistema ahora es
X + 2x + 3x = 9-3x – 6x =-12
3x + x – 2x = 4
Entonces, la primera ecuación se multiplica por – 3 y se suma a la tercera, lo que da por resultado:
x + 2x +3x = 9
-3x – 6x = -12
-5x – 11x = -23
Observe que en el sistema se ha eliminado una variable de la segunda y la tercera ecuación.
Después se divide la segunda ecuación por -3.
x + 2x + 3x = 9
x + 2x = 4
-5x -11x = -23
Se multiplica la segunda ecuaciónpor -2 y se suma a la primera; después se multiplica la segunda ecuación por 5 y se suma a la tercera.
Ahora se multiplica la tercera ecuación por -1:
X – x =1
x + 2 x =4
x = 3
Por último, se suma la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera ecuación por -2 y se suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sistema.
x = 4
x = -2
x = 3.
Estaes la solución única para el sistema.
Ecuaciones con varia soluciones.
2x + 4y + 6z = 18 Ecuación 1
4x + 5y + 6z = 24 Ecuación 2
3x + y – 2z = 4 Ecuación 3
Multiplicar la ecuación 1 por (-2) y sumar a la Ec. 2.
(-2)(2x + 4y + 6z = 18)
4x + 5y + 6z = 24
-3y - 6z = -12 Ec.4


Multiplicar la Ec. 2 por 3 y la Ec. 3 por -4 y sumarlas.
3 (4x + 5y + 6z = 24)
4 (3x + y – 2z = 4
11y + 26z =56 Ec.5
Multiplicar la Ec.4 por 11 y la Ec.5 por 3 y sumarlas.
11 (-3y – 6z = -12)
3 (11y + 26z = 56)
12z = 36
Z = 36/12
Z = 3
Sustituir 2 en Ec.4
-3y – 6y = -12
-3y – 6(3) = -12  -3y -18 = -12  -3y = -12 + 18  -3y = 6  y = -2
Sustituir Y y Z en Ec.1
2x + 4y + 6z = 18
2x + 4(-2) + 6(3) = 18
2x – 8 + 18 = 18  2x + 10 = 18  2x = 18 – 10  2x = 8  x = 4


Ecuaciones de renglonesOperaciones elementales con renglones:
Multiplicar o dividir un renglón por un número diferente a cero.
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Intercambiar dos renglones.


Reducción por renglones.
Ejemplo
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
3x + y – 2 = 4
1. Se divide el renglón uno por el coeficiente x, esto quedaría :

X + 2y + 3z = 9

2. Formar la ecuación de renglones
(-4) +...