sistemas de ecuaciones lineales

Nombre: Manuel Prado
Fecha: Viernes 16 de octubre de 2015
Grado: Décimo B
Tarea de matemáticas
Sistemas de ecuaciones lineales (SEL)
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primergrado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. 
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis.
Un sistema deecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:
a11x1 + a12x2 + ....+a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ....+a2nxn = b2
...........................................
am1x1 + am2x2 + ....+amnxn = bm
xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j =1,2,...,n).
bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
Solución de un sistema deecuaciones lineales: La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Clasificación por su forma de ecuaciones
Sistemas homogéneos
Son aquellos cuya constante es siempre igual a cero, y su criterio de solución se da como:
Si el número de ecuaciones consistentes y útiles es igual al número de variables entonces se dice que tiene una únicasolución trivial es decir cada variable valdrá cero. De no darse de esa forma tendrá infinitas soluciones.
Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2,b3, …, bn son todas ceros. Esto es, el sistema es de la forma:
 
En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solución una de estas tres posibilidades: una soluciónúnica, ninguna solución o un número infinito de soluciones. Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo hay dos posibilidades: cero como solución (llamada solución trivial) o un número infinito de soluciones adicional a cero como solución (llamada solución no trivial).
Ejemplos





Sistemas heterogéneos
Son aquellos en los que la constante (b) es diferente de cero, estos sistemas puedentener una solución única diferente de la trivial, o pueden tener infinitas soluciones, igual que en caso de los homogéneos el criterio se da tomando en cuenta el número de ecuaciones válidas con el número de incógnitas; si coinciden entonces tiene única solución no trivial, si no existen infinitas soluciones.
La resolución de ecuaciones no homogéneas es, en general, bastante más difícil que para elcaso homogéneo. Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en ocasiones, funciona.
Suponemos una ecuación no homogénea

y llamamos ecuación homogénea asociada a

Supongamos que conocemos una solución, ,de la ecuación no homogénea, a la que llamamos solución particular.
Teorema Toda solución de (9) se puede escribir como suma de la solución particular y una solucióncualquiera de la ecuación homogénea asociada (10).
Demostración:
1. Representemos por an una solución cualquiera de la ecuación (10). Si sustituimos en (9) vemos que se satisface la ecuación.
2. Recíprocamente, supongamos que es otra solución de (9). Restando y sustituyendo en (10) vemos que es solución.
Entonces, para resolver una ecuación, lineal, no homogénea basta encontrar
Una solución particular yresolver completamente la ecuación homogénea asociada.


Clasificación por sus soluciones
1. Solución Independiente: La solución independiente es la solución única para un sistema de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuación, si aplicamos una operación de transformación de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad. Una característica única de este tipo solución es que se...