Sistemas de Ecuaciones Simultaneas (Metodos de Solución)

Sistemas de ecuaciones simultaneas

en las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que seplantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en lasincógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
1. Sustitución
2. Igualación
3. Gráfico
4. Determinantes
5. Reducción

1. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Sea el sistema 
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de lasincógnitas, despejando en este caso y. 
y=11-3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado
5x-(11-3x)=13
Luego de aplicar la propiedad distributiva, tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos..
5x-11+3x=13
5x+3x=13+11
8x=24
x=3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistemay=11-3x
y=11-9
y=2
 
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
 
2. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Sea el sistema 
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita, en este caso y
Igualamos ambas ecuaciones
11-3x=-13+5x
8x=24
x=3
Este valor de x lo sustituímos en cualquiera de las ecuaciones de yy=11-9
y=2
3. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambasrectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres tipos de soluciones:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coincidenambas. Sistema compatible indeterminado.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Veamos un ejemplo:
"Entre Ana y Sergio tienen 600 pesos, pero Sergio tiene el doble de pesos que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?".
Llamemos x al número de pesos de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600pesos, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de pesos que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas devalores:
y = -x + 600
y = 2x
x
y
x
y
200
400
100
200
600
0
200
400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

< TD>
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la...