Sistemas de ecuaciones

Método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
* Despejamos la  en la primera ecuación:

*Sustituimos esta expresión de la  en la segunda ecuación:

* Resolvemos la ecuación resultante:

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* Sustituimos el valor  en :

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* Así, la solución del sistema es:
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Método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelvey permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
* Despejamos la  en cada una de las dos ecuaciones:

* Igualamos estas dos expresiones:

* Resolvemos la ecuación:

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* Sustituimos el valor  en cualquiera de las expresiones del primer paso, por ejemplo en :

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Así, la solución del sistema es:Método de reducción
El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida, de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.* Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:
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12x + 8y = 28
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-12x + 9y = -45
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17y = -17

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* Sustituimos el valor  en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera: 

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* Así, la solución del sistema es:
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Regla de Cramer
La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea elcalculo dedeterminantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.
Partiendo de un sistemageneral de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.
Elcoeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugardonde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que el valor del determinante es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.
Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer...