sistemas de ecuaciones

Capítulo 3. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1
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CAPÍTULO

3.

SOLUCIÓN
ECUACIONES

NUMÉRICA

DE

SISTEMAS

DE

INTRODUCCIÓN
Un sistema de n-ecuaciones (con coeficientes reales) en las n-incógnitas x1, x 2 ,..., x n es un
conjunto de n ecuaciones de la forma
 f1 ( x1, x2 ,..., xn )
 f 2 ( x1, x2 ,..., xn )


 f ( x , x ,..., x )
n
n12

=

0

=

0

(3.1)

M
=

0

donde

fi :

Di

X = ( x1, x 2 ,..., x n ) →

→

R, Di ⊆ Rn

fi ( X ) = y

Si para cada i = 12,...,n , la función fi es de la forma
,
fi ( x1, x 2 ,..., xn ) = ai 1x1 + ai 2 x 2 +...+ ai n xn − b i

con ai 1, a i 2 ,..., a i n y bi constantes reales, el sistema se dicelineal (con coeficientes reales); en
cualquier otro caso el sistema se dice no-lineal.
Si C = ( c1, c 2 ,...,c n ) ∈R n es tal que fi ( c1, c 2 ,..., c n ) = 0 para cada i = 12,...,n , entonces se dice que
,
C es una solución real del sistema (3.1).
El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para encontrar una solución
real de un sistema del tipo (3.1).

3.1 SOLUCIÓNNUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de n-ecuaciones lineales (con coeficientes reales) en las n-incógnitas x1, x 2 ,..., x n
puede escribirse en la forma
 a11x1 + a12 x 2 +...+a1n xn
a x + a x +...+a x
 21 1
22 2
2n n


 an1x1 + an 2 x 2 +...+ ann xn


= b1
= b2
M

,
con ai j , bi ∈R , i, j = 12,...,n (3.2)

= bn

El sistema (3.2) puede escribirse enla forma matricial equivalente AX = b con

Capítulo 3. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2
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 b1 
 x1 
 a11 a12 L a1n 




b2
x2 
a 21 a 22 L a 2n 
A=
, X =  y b= 
 M
M
M

M
M




 bn 
 xn 
 an1 an 2 L ann 

La matriz A es llamada matrizde coeficientes del sistema, el vector columna X el vector de
incógnitas y el vector b el vector de términos independientes.
Nota: Consideraremos únicamente sistemas de ecuaciones lineales AX = b con A ∈ R n × n que
tengan solución única para cada vector b ∈R n , es decir, con A invertible.
Los métodos numéricos que estudiaremos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales
seclasifican en dos tipos: directos e iterativos.
Los métodos directos nos proporcionan una solución del sistema en un número finito de pasos.
Si usamos aritmética finita para los cálculos, obtendremos por lo general una solución aproximada,
debido únicamente a los errores de redondeo, puesto que no hay errores de truncamiento o de
fórmula. Los métodos directos más usados tienen como base la eliminaciónde Gauss.
En los métodos iterativos se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema dado y se
genera, a partir de dicha aproximación, una sucesión de vectores que si converge lo hace a la
solución del sistema. Al igual que en el capítulo 2, tendremos fórmulas para calcular los términos
de la sucesión, así que en general no se espera calcular el límite de la sucesión, por lo quedebemos tomar algún término de la sucesión como una solución aproximada del sistema. Esta
vez, además de los errores de redondeo si se usa aritmética finita, habrá errores de truncamiento o
de fórmula. Los métodos iterativos más simples y conocidos están basados en iteraciones de
Punto Fijo .

3.2 MÉTODOS DIRECTOS
CASO 1: La matriz A (de coeficientes del sistema AX = b ) es triangular(superior o inferior)
con todas sus componentes sobre la diagonal principal no-nulas.
Supongamos que el sistema es de la forma















a11x1 + a12 x 2 +

...

+ a1 ix i +

...

+ a1,n −1xn −1 + a1 n xn = b1

a22 x 2 +

...

+ a 2 i xi +

...

+ a 2,n− 1xn −1 + a2 n xn = b 2

ai i xi +

...

+ ai,n −1xn −1 + ai n x n = bi

M
M
an...