Sistemas de Ecuaciones

5

Sistemas
de ecuaciones

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

PIENSA Y CALCULA
Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha:
a) ¿cuántas soluciones tiene?
b) halla la solución o las soluciones.

Y
2x + y = 4
x – 3y = –5

X

Solución:
a) Solo tiene una solución
b) La solución es x = 1, y = 2

APLICA LA TEORÍA
1 Resuelvegráficamente el siguiente sistema lineal y

Y

clasifícalo según el número de soluciones:
2x + y = 3
x – 3y = 5
Solución:
Primera ecuación:

}

2x + y = 3

X
x – 3y = 5

P(2, –1)

2x + y = 3
x
0
1

y
3 ò A(0, 3)
1 ò B(1, 1)

Solución x = 2, y = – 1
Como tiene una solución, el sistema es compatible
determinado

Segunda ecuación:
x – 3y = 5
x = 3y + 5
x y
5 0 ò C(5, 0)
– 4 –3 ò D(– 4, – 3)
168

2 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y

resuélvelo gráficamente para comprobarlo:
2x – 2y = 3
–x + y = 3

}
SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

y = 3 – 2x

Solución:
Los coeficientes de las variables son proporcionales,
y no lo son con los términos independientes; por
tanto, el sistema es incompatible. Las rectas son
paralelas.
2–2 3
—=—?—
–1 1
3

Primera ecuación:
2x – y = 1
y = 2x – 1
x y
0 – 1 ò A(0, – 1)
2 3 ò B(2, 3)
Y

Representación gráfica:
Primera ecuación:
2x – 2y = 3

X

3
y=x–—
2

2x – y = 1
–4x + 2y = –2

x
y
0 – 3/2 ò A(0, – 3/2)
5 7/2 ò B(5, 7/2)

4 Clasifica mentalmente el siguiente sistema lineal y

Segunda ecuación:

resuélvelo gráficamente para comprobarlo:

–x + y = 33x + 2y = 6

y=x+3
x
0
2

2x – y = 4

y
3 ò C(0, 3)
5 ò D(2, 5)

}

Solución:
Los coeficientes de las variables no son proporcionales, por tanto, el sistema es compatible determinado.
Las rectas son secantes.

Y

3
2
—?—
2 –1

–x + y = 3
X
2x – 2y = 3

Representación gráfica:
Primera ecuación:
3x + 2y = 6
3x
y=3–—
2

3 Clasifica mentalmente el siguientesistema lineal y

resuélvelo gráficamente para comprobarlo:
2x – y = 1

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

– 4x + 2y = – 2

}

Solución:
Los coeficientes de las variables son proporcionales, y
lo son con los términos independientes; por tanto, el
sistema es compatible indeterminado. Las dos rectas
son la misma. Multiplicando la 1ª ecuación por – 2 se
obtiene la 2ª ecuación.

x
0
2y
3 ò A(0, 3)
0 ò B(2, 0)

Segunda ecuación:
2x – y = 4
y = 2x – 4
x y
0 – 4 ò C(0, – 4)
3 2 ò D(3, 2)

Y
3x + 2y = 6

2
–1
1
—=—=—
–4
2
–2

P(2, 0) X

Representación gráfica:
Solo representaremos la 1ª recta, ya que ambas rectas son la misma.

TEMA 5. SISTEMAS DE ECUACIONES

2x – y = 4

169

2. Resolución algebraica de sistemas lineales

PIENSA Y CALCULA
x+y=5
Halla mentalmente, sumando y restando, la solución del sistema
x–y = 1

}

Solución:
Sumando se obtiene: 2x = 6 ò x = 3
Restando se obtiene: 2y = 4 ò y = 2

APLICA LA TEORÍA
5 Resuelve por el método más adecuado el siguiente

7 Resuelve el siguiente sistema:

sistema y razona por qué eliges ese método:
2x + 3y = 9
5x + y = 16

}

Solución:
Se resuelve por sustitucióndespejando la incógnita y
de la 2ª ecuación y sustituyendo en la 1ª ecuación.

6 Resuelve por el método más adecuado el siguiente

sistema y razona por qué eliges ese método:
5x – 3y = 19

2x – 3y
1
33
–
=
5
10 10
Solución:
Primero se eliminan los denominadores.
Se obtiene: x = 4, y = – 3

Se obtiene: x = 3, y = 1

4x + 3y = – 1

x x + y 11
–
=
6
2
6

8 Resuelve elsiguiente sistema:

2x + 4y = 7
x 2x – 5y 5
–
=
3
4
6

}

}

Solución:

Solución:

Se resuelve por reducción; sumando las dos ecuaciones se elimina la incógnita y

Primero se eliminan los denominadores.

Se obtiene: x = 2, y = – 3

1
3
Se obtiene: x = —, y = —
2
2

3. Sistemas de ecuaciones no lineales

PIENSA Y CALCULA
Observando el dibujo de la parte derecha, halla...