Sistemas de ecuaciones

GUÍA No. 2 – SISTEMAS DE ECUACIONES
Profesor: Benjamín Sarmiento

ALGEBRA LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIÓN LINEAL: La forma general de una ecuación lineal es a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a 1 n xn = b1 . SISTEMA DE ECUACIONE S LINEALES: Un sistema de ecuaciones lineales está formado por un conjunto de ecuaciones lineales ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + a in xn = bi , donde i= 1, 2, ...,m. La forma general de escribir un sistema de ecuaciones lineales es la siguiente: a 11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . . + a1 n xn = b1 a 21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . . + a2 n xn = b2 a 31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + . . . . + a3 n xn = b3 . . . . . . a m1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . . + amn xn = bm En forma abreviada es Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de lasincógnitas y b es el vector de los valores independientes. Un sistema de ecuaciones es homogéneo si bj = 0, para cada j = 1, 2, . . . m; y es No homogéneo si al menos uno de los bj es diferente de cero. TIPOS DE SOLUCIÓN: Un sistema puede ser consistente o inconsistente. Es consistente cuando tiene solución (única o infinitas). Es inconsistente cuando no tiene solución. Un sistema de ecuacioneshomogéneo siempre tendrá solución: Única, cuando después de aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, esta es la solución trivial ( 0, 0, 0, . . . , 0 ); Infinitas, cuando después de aplicar eliminación Gaussiana el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas. Un sistema de ecuaciones no homogéneo puede ser consistente o inconsistente.REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS: Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa un conjunto de dos rectas en el plano. Un sistema d tres e ecuaciones con tres incógnitas representa un conjunto de tres planos en el espacio. RELACIÓN SOLUCIÓN - DETERMINANTE - INVERSA: Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b tendrá solución única si, y sólo si, det(A) ≠ 0. El sistema tendrá infinitas solucioneso es inconsistente si, y sólo si, det(A) = 0. Si det(A) ≠ 0 y A-1 es la inversa de A, entonces la solución del sistema Ax = b es x = A-1b. OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS: Si en un sistema de ecuaciones Ax=b se realizan las siguientes operaciones, se obtiene un sistema equivalente, es decir, un sistema con las mismas soluciones: 1. Multiplicar una ecuación por un escalar k diferente de cero.{kE m →modifica(E m )}. 2. Intercambiar dos ecuaciones. {Em → En y En → Em }. 3. Sumar a una ecuación, k veces otra ecuación. {kEm + En → modifica(En)}.

-1-

EJERCICIOS
Ejercicio 1: Represente geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a) 2x - y = 6 4x - 2y = 0 (b) - x + 2y = 4 2x - 4y = - 8 (c) 4x + 3y = 12 3x - 4y = 12

Ejercic io 2: Represente geométricamente lossiguientes sistemas de ecuaciones lineales : (a) x + 3y + 2z = 6 2x - 2y - 3z = 6 4x + 3y + z = 12 (b) 2x - y + 4z = 8 3x + 2y - 3z = 6 2x + y + 5z = 10 (c) - x + 3y + 2z = -6 2x + y + 3z = 6 x + 4y + 5z = 4

Ejercicio 3: Use los métodos de eliminación, sustitución e igualación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales : (a) 2x - 3y = 6 4x - 2y = 0 (b) - x + 2y = 4 2x - 4y =-8 (c) 4x + 3y 3x - 2y = 12 = 12

Ejerc icio 4: Use los métodos de eliminación, sustitución e igualación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales : (a) x + 3y + 2z = 6 2x - 2y - 3z = -6 4x + 3y + z = 12 (b) 2x - y + 4z = 8 3x + 2y - 3z = 12 5x + y + 5z = 10 (c) - x + 3y + 2z = -6 2x + y + 3z = 6 2x + 4y + 5z = 0

Ejercicio 5: Determine si los siguientes sistemas tienen o nosolución única : (a) 4x + 3y + 3z = 0 2x - 2y - 3z = 0 4x + 3y + z = 0 (b) 2x - 3y = 10 3x + 3z = 6 3y + 5z = 10 (c) - 3x + 3y + 2z = 6 2x + y + 3z = 10 x - 4y - 5z = 0

Ejercicio 6: Explique geométrica y analíticamente, cuando el sistema de ecuaciones lineales

 a11x + a12y = b1  , tendrá:   a21x + a22 y = b2  (a) Solución única. (b) Infinitas soluciones. (c) Ninguna solución .
Ejerc...