sistemas de ecuaciones

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
r =r' Sistema compatible.
r = r' = n Sistema compatible determinado.
r = r' ≠ n Sistema compatible indeterminado.
r ≠ r' Sistema incompatible.
Ejemplo
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema: 1  Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.


r(A) = 3
 2  Hallamos el rango de la matriz ampliada


r(A') = 3
 3  Aplicamos el teorema de Rouché.


 4  Como elsistema es compatible podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss.
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos.En estecaso lo haremos por la regla de Cramer.





Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial:x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nºde incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
Observemos que esto se debe a que:
De este modo estamos en el caso del teorema de Roucheen el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.
Ejemplos







r = 3 n = 3


Un sistema Cramer es un sistema de necuaciones con n incógnitas, tal que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinta de 0.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:
Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
losdeterminantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente....