SISTEMAS DE ECUACIONES

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
10 de enero de 2011

´Indice
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . .
3.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Fracciones parciales . . . . . . . .
3.4. Determinaci´
on de curvas . . . . .
3.5. Balanceo de Reacciones Qu´ımicas
3.6. Aplicaciones a Manufactura . . .
3.7. Aplicaciones Diversas . . . . ..
3.8. Transferencia de Calor . . . . . .
3.9. Splines c´
ubicos . . . . . . . . . .
3.10. Suma de los primeros cuadrados
3.11. Integraci´on num´erica . . . . . . .

3.1.

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Introducci´
on

En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la
resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposiblepretender cubrir las aplicaciones.
Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas.

3.2.

Objetivo

La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci´on de un sistema
de ecuaciones lineales. Notablemente, la t´ecnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m´
as.

3.3.

Fracciones parciales

Unat´ecnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matem´aticas es aquella conocida como fracciones
´
parciales. Esta
se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La
idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma
m´as conveniente para cierto tipo de c´
alculo.
Ejemplo 3.1
Determine los valoresde las constantes a y b para que satisfagan:
1
a
b
=
+
(x − 2)(x + 3)
x−2 x+3

Soluci´
on
Se debe cumplir:
1
(x−2)(x+3)

=

a
x−2

=

a (x+3)+b (x−2)
(x−2) (x+3)

=

ax+3a+bx−2b
(x−2)(x+3)

=

(3 a−2 b) + (a+b) x
(x−2)(x+3)

+

b
x+3

Esto se cumple si:
1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x
Es decir, si:
3a − 2b = 1
a +
b = 0
El cual tiene como soluci´
on:
a=

1
1
yb=−
5
5

Ejemplo 3.2
(Formadudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:
2 + 2x + 2x2
a
b
=
+
(x + 1)(x2 + 1)
x + 1 x2 + 1
Soluci´
on
Se debe cumplir:
2+2x+2x2
(x+1)(x2 +1)

b
x2 +1

=

a
x+1

=

a (x2 +1)+b (x+1)
(x+1) (x2 +1)

=

a x2 + a + b x + b
(x+1)(x2 +1)

=

(a+b) + (b) x+a x2
(x+1)(x2 +1)

+

Esto se cumple si:
2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b) x + a x2
Es decir, si:
a + b = 2
+ b = 2
a
=2
El cual no tiene soluci´
on. ¿Qu´e puede andar mal? La forma propuesta para la expresi´on en fracciones parciales.
Ejemplo 3.3
Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan:
2 + 2x + 2x2
a
bx + c
=
+ 2
2
(x + 1)(x + 1)
x+1 x +1

2

Soluci´
on
Se debe cumplir:
2x2 +2x+2
(x+1)(x2 +1)

=

a
x+1

=

a(x2 +1)+(bx+c)(x+1)
(x+1)(x2 +1)

=

ax2 +a+bx2 +bx+cx+c
(x+1)(x2 +1)

=(a+b)x2 +(b+c)x+(a+c)
(x+1)(x2 +1)

+

bx+c
x2 +1

Esto se cumple si:
2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c)
Es decir, si:
a + b
= 2
b + c = 2
a
+ c = 2
El cual tiene como soluci´
on:
a = 1, b = 1 y c = 1

3.4.

Determinaci´
on de curvas

Un problema comun en diferentes ´
areas es la determinaci´
on de curvas. es decir el problema de encontrar
la funci´on que pasa por un conjunto de puntos....