Sistemas de ecuasciones

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
  Estudiaremos sistemas de ecuaciones de la forma : 
[pic][pic]
 donde [pic] , [pic] son constantes y [pic] son las incógnitas. Se dice que el sistema tiene [pic] ecuaciones con [pic] incógnitas o simplemente que es de [pic]. 
En la notación [pic] , i se refiere al renglón, y j se refiere a la columna donde está ubicado el elementocorrespondiente.

MATRICES
El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial si definimos: 
i)  La matriz de coeficientes:
|  |[pic] |

ii)  La matriz de incógnitas:
|  |[pic]|

iii)  La matriz de términos independientes o resultados:
|  |[pic] |

Entonces el sistema es equivalente a la ecuación matricial:
|  |[pic]|

donde el producto indicado es el producto de matrices. 
OPERACIONES ELEMENTALES 
Para una matriz A se definen tres operaciones elementales por renglones ( o columnas ); nos remitiremos a las operaciones por renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz equivalente, y se utiliza el símbolo deequivalencia. 
I.- Intercambiar dos renglones
Ejemplo: Si intercambiamos el renglón 1 y 3:
|  |[pic]~[pic] |

II.- Multiplicar un renglón por una constante distinta de cero
Ejemplo: Si multiplicamos el renglón 3 por 2:
|  |[pic]|

III.- Sumar un renglón a otro renglón
Ejemplo: Si sumamos el renglón 3 al renglón 2:
|  |[pic]~[pic] |

Las operaciones II y III se combinan para sumar un múltiplo de un renglóna otro renglón.
Ejemplo:
(i) Comenzamos con la matriz:
|  |[pic] |

              (ii) Multiplicamos el renglón 1 por 2:
|  |[pic]~[pic]|

(iii) Sumamos el renglón 1 al renglón 2:
|  |[pic]~[pic] |

(iv) Finalmente multiplicamos por [pic] el renglón 1 ( lo cual anula el paso 
                    (ii) ):
|  |[pic]~[pic]|

Ahorrando pasos podemos escribir simplemente:
|  |[pic]~[pic] |

Finalmente, las operaciones elementales se utilizan para “hacer ceros” debajo de algún elemento [pic]. 
Ejemplo:Hacer ceros debajo del elemento [pic] en la siguiente matriz:
|  |[pic] |

Solución. Vemos que para lograr el objetivo, podemos multiplicar el renglón 1 por 2 , y sumarlo al renglón 2. Tambien podemos multiplicar el mismo renglón 1 por –3, y sumárselo al renglón 3:
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