sistemas de lubricacion

 Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:










S o l u c i o n e s
 




Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

 (Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

 

 




 




 


Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas sepueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
con y 
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funcionestrigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
A .        El integrando contiene una función de la forma con 
Se hace el cambio devariable escribiendo
donde 
Si entonces 
Además: 
pues y como
entonces por lo que 
Luego: 
Como entonces 
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de lafigura siguiente:

Ejemplos:
1.


Sea con 

Luego: 

Sustituyendo:





Como entonces y 
Además por lo que 
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:Por último:



2.

Sea 

Luego 


Sustituyendo



Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:


 
Luego:

3.

Sea 

Además: Sustituyendo:






4.

Sea 

Luego 


Sustituyendo



pues y 
También puede utilizarse:

5.
  Ejercicio para el estudiante
6.
        Ejercicio para el estudiante
7.           Ejercicio para el estudiante
B)             El integrando contiene una expresión de la forma con 
Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y 
Si entonces 
Además Como y entonces es positiva
y por tanto 
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

         Ejemplos:
1.

Sea 

Luego: 


Sustituyendo



2....