Sistemas De Manufactura
Páginas: 15 (3640 palabras)
Publicado: 22 de noviembre de 2012
SERIES DE FOURIER
1 Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier
Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma ¶ ∞ µ 2πn 2πn a0 X + x + bn sen x an cos 2 T T n=1 donde T ∈ R+ , a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los an , bn son los coeficientes de la misma. Dado un número real x0 , observemos que si enla serie se sustituye la variable x por cualquier número de la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que: 2πn 2πn (x0 + kT ) + bn sen (x0 + kT ) = T µ µT ¶ ¶ 2πn 2πn x0 + 2knπ + bn sen x0 + 2knπ = an cos T T 2πn 2πn x0 + bn sen x0 = an cos T T an cos Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0 ,entonces también converge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos. En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T . Definición 1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a los números Z 2 T 2πn an = xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos T 0 T 2 bn = T Z
T
f(x) sen
0
2πn xdx T 1
n = 1, 2, 3, . . .
La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ]. Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie de Fourier de f . Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, de acuerdo con la Definición1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningún argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es o no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones. Obsérveseque, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de período T , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo de integración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2, T /2]), lo que en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.
2Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares
En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesario al determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par o bien una función impar, como veremos a continuación: Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T, su serie de Fourier es ¶ ∞ µ a0 X 2πn 2πn an cos + x + bn sen x 2 T T n=1
y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas Z 2 T 2πn xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos an = T 0 T Z 2 T 2πn xdx n = 1, 2, 3, . . . f (x) sen bn = T 0 T
que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f ) en la forma Z 2 T /2 2πn xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos an = T −T /2 T Z 2 T /22πn bn = xdx n = 1, 2, 3, . . . f (x) sen T −T /2 T 2
Así, se tiene que: i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares, porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndice resulte an bn 4 = T = 0Z
T /2
f (x) cos
0
2πn xdx T
n = 0, 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . .
y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma ∞ a0 X 2πn an cos + x 2 T n=1 ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares, ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a...
1 Series trigonométricas y series de Fourier. Coeficientes de Fourier
Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma ¶ ∞ µ 2πn 2πn a0 X + x + bn sen x an cos 2 T T n=1 donde T ∈ R+ , a0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , . . . son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los an , bn son los coeficientes de la misma. Dado un número real x0 , observemos que si enla serie se sustituye la variable x por cualquier número de la forma x0 + kT con k ∈ Z, la serie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que: 2πn 2πn (x0 + kT ) + bn sen (x0 + kT ) = T µ µT ¶ ¶ 2πn 2πn x0 + 2knπ + bn sen x0 + 2knπ = an cos T T 2πn 2πn x0 + bn sen x0 = an cos T T an cos Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0 ,entonces también converge en todo punto de la forma x0 + kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos. En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T . Definición 1 Sea f una función integrable en [0, T ]. Se llaman coeficientes de Fourier de f a los números Z 2 T 2πn an = xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos T 0 T 2 bn = T Z
T
f(x) sen
0
2πn xdx T 1
n = 1, 2, 3, . . .
La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T ]. Cuando la función f es además periódica de período T , la serie citada se denomina simplemente serie de Fourier de f . Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, y para ello, de acuerdo con la Definición1, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora no se ha expuesto ningún argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es o no la función f . Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones. Obsérveseque, en el caso de ser f una función T -periódica, los integrandos serían funciones de período T , y entonces, de acuerdo con la Proposición A.2 del Apéndice, es posible reemplazar el intervalo de integración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2, T /2]), lo que en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.
2Series de Fourier de funciones pares y de funciones impares
En el cálculo de la serie de Fourier correspondiente a una función f , es posible evitar trabajo innecesario al determinar los coeficientes de la serie cuando la función f considerada sea o bien una función par o bien una función impar, como veremos a continuación: Si f es una función integrable en [0, T ], y además periódica de período T, su serie de Fourier es ¶ ∞ µ a0 X 2πn 2πn an cos + x + bn sen x 2 T T n=1
y sus coeficientes se obtienen empleando las fórmulas Z 2 T 2πn xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos an = T 0 T Z 2 T 2πn xdx n = 1, 2, 3, . . . f (x) sen bn = T 0 T
que también se pueden expresar (considerando la periodicidad de f ) en la forma Z 2 T /2 2πn xdx n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) cos an = T −T /2 T Z 2 T /22πn bn = xdx n = 1, 2, 3, . . . f (x) sen T −T /2 T 2
Así, se tiene que: i) Cuando f es par, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones pares, ya que tanto f como los cosenos lo son; sin embargo, al calcular los bn las funciones a integrar son impares, porque f es par y los senos impares, de ahí que de acuerdo con la Proposición A.3 del Apéndice resulte an bn 4 = T = 0Z
T /2
f (x) cos
0
2πn xdx T
n = 0, 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . .
y por tanto la serie de Fourier obtenida es una serie cosenoidal, es decir, es de la forma ∞ a0 X 2πn an cos + x 2 T n=1 ii) Cuando f es impar, al calcular los coeficientes an las funciones a integrar son funciones impares, ya que f es impar y los cosenos pares; sin embargo, al calcular los bn las funciones a...
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