Sistemas de numeracion

SISTEMAS DE NUMERACION POSICIONALES

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como

donde:
 es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
 es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
 son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeraciónconsiderado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

EJEMPLOS
 el número 135(10) es unnúmero válido en el sistema decimal que utiliza los símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), pero el número 12A(10) no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en este sistema decimal.
 el número 35(8) es un número válido en el sistema octal que utiliza los símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) , pero el número 39(8) no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en este sistema octal.
 elnúmero F1 E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal que utiliza los símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F), pero el número FKE4(16) no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en este sistema hexadecimal.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES
Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco ydespués se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema denumeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
El número de símbolos permitidos en unsistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a lacolumna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.
Tales la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional elcual ya no se usa.

EJEMPLO EN EL SISTEMA BINARIO
Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no...