Sistemas de numeracion

1. GUÍA Nº 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1.1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1.1. SISTEMAS NUMÉRICOS

Los números surgieron de la necesidad de expresar de forma abstracta una propiedad de un conjunto de elementos: su tamaño; esto es, la cantidad de elementos que posee. Existen diferentes tipos de sistemas de numeración desde la aditiva como el que usaban los aztecas, la aditiva-substractiva como lanumeración romana, la multiplicativa que empleaban las culturas asiria, aramea y etíope hasta el posicional que es el más empleado actualmente. 1.1.1.1. Sistemas de numeración posicional Representan números conformados por la agrupación de dígitos ubicados en una posición específica. El valor del dígito depende de la posición en la que se encuentre dentro del número. Este valor se determina de acuerdocon la base que defina el sistema de numeración. Tanto el sistema hexadecimal como el sistema binario y el sistema decimal utilizan números para representar cantidades. Los tres tienen en común el ser sistemas de numeración posicionales. En la siguiente ecuación tenemos un ejemplo genérico de un sistema posicional decimal.

d n d n −1 ...d 2 d1 d 0 • d −1 d − 2 ...d − m
Con la letra d serepresenta un dígito cualquiera de los diez que componen el sistema. Los dígitos a la izquierda de la coma decimal representados por d 0 , d 1 y d 2 toman el valor correspondiente al producto entre estos y las potencias positivas de la base (en decimal, 10) en función de la posición que ocupan y representan respectivamente al dígito de las unidades (100 = 1), al de las decenas (101 = 10) y al de lascentenas (102 = 100) ya que como se observa en la ecuación están colocados en las posiciones primera, segunda y tercera a la izquierda del punto. Los dígitos a la derecha del punto decimal d −1 y d − 2 representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1 = 0,1) y al de las centésimas (10-2 = 0,01). El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base querepresenta.

d n × 10 n + d n −1 × 10 n −1 + ... + d 2 × 10 2 + d1 × 10 + d 0 + d −1 × 10 −1 + d − 2 × 10 −2 + ... + d − m × 10 − m
Es decir,

i =− m

∑ d 10
i

n

i

Cada sistema de numeración utiliza un conjunto de símbolos (dígitos) para la representación de números. En la siguiente tabla observamos los símbolos empleados algunos sistemas de numeración. BASE 2 3 NOMBRE BinarioTernario SIMBOLO DE LA BASE (Digito del sistema) 01 012

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Cuaternario Quinario Hexal Septal Octal Nonario Decimal Undecimal Duodecimal Tridecimal Tetradecimal Pentadecimal Hexadecimal

0123 01234 012345 0123456 01234567 012345678 0123456789 0123456789A 0123456789AB 0123456789ABC 0123456789ABCD 0123456789ABCDE 0123456789ABCDEF

1.1.1.2. Sistema de numeracióndecimal Emplea la base 10 para determinar el valor de cada posición ya que se utilizan 10 dígitos para representación (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9). Ejemplo 1. La unión de los dígitos 3 0 5 y 7 es igual a: 3x103 + 0 x102 + 5 x101 + 7 x100 Lo que da como resultado: 3000 + 0 + 50 + 7 = 305710 1.1.1.3. Sistema de numeración binario Es el sistema de referencia para los computadores y su base es 2. El valor dela posición viene dado por potencias de 2 (20, 21, 22,…) ya que solo se utilizan dos dígitos, el cero y el uno. (0 1). Ejemplo 2. El número 110011012 es igual a: 1x27 + 1x26 + 0x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 Lo que da como resultado: 128 + 64 + 0+ 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 20510 1.1.1.4. Sistema de numeración hexadecimal Un gran problema con el sistema binario es la falta de compactación. Pararepresentar el valor 205 se requieren 8 dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de 3 dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. El sistema hexadecimal permite mayor compactación y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría de los computadores...