Sistemas De Partículas

CAPÍTULO V

SISTEMAS DE PARTÍCULAS

2

SISTEMAS DE PARTICULAS

SISTEMAS DE PARTICULAS

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SISTEMAS DE PARTÍCULAS
La mayor parte de los objetos físicos no pueden por lo general tratarse como partículas. En
mecánica clásica, un objeto extendido se considera como un sistema compuesto por un gran
numero de partículas puntuales. El estudio que sigue sirve tanto para un agregado departículas libres como pueden ser los fragmentos de una granada, como para un sólido
rígido en cuyo caso las partículas se mueven manteniendo distancias fijas entre si.
Sea un sistema de partículas de masa mi. Sobre cada
partícula actúan dos tipos de fuerzas. Las fuerzas
llamadas internas provienen de las otras partículas del
r
sistema. Fij representa la fuerza que actúa sobre la
partícula idebida a la presencia de la partícula j. De
acuerdo a la tercera ley.
r
r
1) Fij = − F ji

r
Para este estudio nos limitaremos al caso de fuerzas centrales; Fij esta dirigida a lo largo de
la línea que une la partícula i con la j. Ello implica descartar el caso particular de fuerzas
internas que dependen de la velocidad relativa de las partículas.
r
El segundo tipo de fuerzas provienendel exterior del sistema. Llamaremos Fi a la
resultante de las fuerzas externas que actúan sobre la partícula i.

Las ecuaciones ce Newton para la partícula i establecen que
Nr
rr
2) mi && = Fi + ∑ Fij
ri
j ≠i

Sumando para toda i
N

r

r

N

ii

i =1

N

N

r

r
∑ m && = ∑ F + ∑ ∑ F
i =1

i

i =1 j ≠i
N

y observando que

N

N

r

N

r

r
∑ m &&= ∑ F
i =1

ii

i =1

i

r

∑∑F

i =1 j ≠i

que
3)

ij

r
= Rext

ij

= 0 , ya que las fuerzas internas se cancelan de a pares, resulta

SISTEMAS DE PARTICULAS

4

r
donde Rext es la resultante de las fuerzas externas.
N

Recordando que la masa total es M = ∑ mi y definiendo el vector posición del centro de
i =1

masas o baricentro

r
1
4) rG =
M

Nr

∑m r
i =1

ii

resulta

r
r
5) M&& = Rext
rG
El centro de masas se mueve como lo hace una partícula con la masa del sistema completo
sobre la cual actúa una fuerza igual a la resultante de las fuerzas externas.
Conocida la posición y velocidad iniciales de las partículas del sistema, la ecuación 4) y su
derivada permiten calcular la posición y velocidad del centro de masas enel instante inicial.
r
La ecuación 5) determina su evolución en el tiempo, un vez conocida Rext . Por ejemplo, si
r
r
la única fuerza externa es el peso Rext = − Mgk , el centro de masas seguirá una trayectoria
parabólica, no importa cuan complicada sea la distribución de partículas.
El sistema de ecuaciones 2) contiene mucha más información que la ecuación 5). Si las
fuerzas externasdependen de la posición y/o velocidad de las partículas del sistema
rrr
&
Fi ri , ri , t , no se puede determinar el movimiento del centro de masa sin analizar el
movimiento de cada partícula del sistema.

(

)

La ecuación 5) es la primera ecuación fundamental de un sistema de partículas. Relaciona la
rN
r
r
derivada del momentum lineal total P = ∑ mi vi = M .vG con la resultante de lasfuerzas
i =1

externas.

r
dP r
= Rext
dt
La segunda ecuación fundamental relaciona la derivada del momentum angular total con el
momento total o torque total del sistema de fuerzas.
Sea Q un punto arbitrario, entonces el momentum angular total es

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5
N
r
rr
r
LQ = ∑ (ri − rQ )× mi vi
i =1

Su derivada respecto al tiempo

r
dLQ
dt

N
rr
r Nr rr
= ∑ (vi − vQ )× mi vi + ∑ (ri − rQ )× mi a i =
i =1

i =1

N
N r
r
r
r
rr
= −vQ × MvG + ∑ (ri − rQ ) ×  Fi + ∑ Fij 


i =1
i≠ j



donde hemos usado la ecuación 2), la definición del centro de masas y el hecho de que
rr
vi × vi = 0 .
Las fuerzas internas una vez más no contribuyen ya que

rr
r
(r − r )× F + (r
r

i

Q

ij

j

r
r
r
rr
− rQ )×...