Sistemas de partiulas

SISTEMAS DE MUCHAS PART´ ICULAS
´ JOSE ENRIQUE BARRADAS GUEVARA

Resumen. Se hace una descripci´n cl´sica de la mec´nica. o a a

1.

Centro de masa

El vector del centro de masa para un sistema de N part´ ıculas est´ definido como a m1 r1 + m2 r2 + · · · + mN rN , (1.1) rCM = m1 + m2 + · · · + mN o bien
N

mi ri (1.2) rCM =
i=1 N

. mi

i=1

As´ la velocidad del centro de masavCM del sistema est´ dada por ı, a (1.3) (1.4) (1.5) vCM = = = drCM dt d m1 r1 + m2 r2 + · · · + mN rN dt m1 + m2 + · · · + mN 1 dr2 drN dr1 + m2 + · · · + mN m1 M dt dt dt

donde M = m1 + m2 + · · · + mN , as´ ı 1 = M
N

(1.6)

vCM

mi vi .
i=1

Pero, pi = mi vi , momento lineal de cada part´ ıcula, de donde 1 M
N

(1.7) (1.8)

vCM

= =

pi
i=1

1 P, M

con P como elmomento total del sistema. De donde P = M vCM , que corresponde a que toda la masa se mueve con la velocidad del centro de masa. Entonces, cuando se habla de la velocidad de un cuerpo realmente de lo que se habla es de la velocidad
1

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de su centro de masa. Si el cuerpo est´ libre de interacciones externas, entonces, a su momento total P se conserva y sepuede colocar un sistema de referencia en el centro de masa tal que P = 0, sistema conocido como sistema del centro de masa. Adem´s, como a = dv/dt entonces aCM = dvCM /dt y como a (1.9) entonces, (1.10) F ex = M aCM , dP = F ex , dt

el centro de masa de un sistema de part´ ıculas se mueve como si fuera una part´ ıcula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la fuerza externa aplicada alsistema. Donde, la fuerza externa sobre el sistema de part´ ıculas es la suma de las fuerzas externas sobre cada una de las part´ ıculas del sistema. 2. Masa reducida

Sea un sistema aislado formado s´lo por dos part´ o ıculas, de masas m1 y m2 , donde las fuerzas internas satisfacen la tercera ley de Newton, esto es F21 = −F12 . Sea r12 = r1 − r2 , con r1 y r2 son los vectores de posici´n decada una de las part´ o ıculas. Las ecuaciones de movimiento de cada una de las part´ ıculas est´n dadas por: para a la primera part´ ıcula, (2.1) y para la segunda, (2.2) ademas, dv1 F21 F12 dv2 = = , , dt m1 dt m2 luego entonces, restando de la primera ecuaci´n la segunda, tenemos o (2.3) (2.4) y de la tercera de Newton, (2.5) pero (2.6) y sea v12 (2.7) donde (2.8) 1 1 1 = + , µ m1 m2 dv1 dv2 d −= (v1 − v2 ) , dt dt dt = v1 − v2 , la velocidad relativa entre las part´ ıculas, entonces 1 dv12 = F21 , dt µ dv1 dv2 − = dt dt 1 1 + m1 m2 F21 , dv1 dv2 F21 F12 − = − , dt dt m1 m2 m2 dv2 = F12 , dt m1 dv1 = F21 , dt

MEC´NICA II a

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es la masa reducida, m1 m2 . m1 + m2 El sistema se comporta como un s´lo cuerpo de masa µ, relativo a un sistema o inercial, sujeto a su interacci´nmutua. Ahora, si colocamos el origen de observaci´n o o en el centro de masa, tenemos (2.9) µ= (2.10) m1 r1 + m2 r2 = 0 . y dado que r12 = r1 − r2 se obtiene m2 r12 m1 r12 , r2 = − . m1 + m2 m1 + m2 De esta manera, el problema del movimiento de dos part´ ıculas interactuantes se reduce al movimiento de una part´ ıcula bajo la acci´n de la interacci´n F21 . De la o o soluci´n de r12 = r12 (t) seobtienen las trayectorias para r1 = r1 (t) y r2 = r2 (t) o de cada una de las part´ ıculas m1 y m2 , tomadas separadamente con respecto a su centro de masa com´n, por medio de las expresiones de arriba. u (2.11) r1 = 3. Momento angular de un sistema de part´ ıculas

Consideremos por simplicidad y sin perdida de generalidad un sistema formado por dos cuerpos de masas m1 y m2 , que interactuanmutuamente, a trav´s de F12 , e y con los alrededores F1 y F2 , de forma que sus ecuaciones de movimiento est´n a dadas por: (3.1) y dv2 = F2 + F12 . dt Sus momentos lineales respectivos son: p1 = m1 v1 y p2 = m2 v2 ; y los angulares: L1 = r1 × p1 y L2 = r2 × p2 . Adem´s, a (3.2) m2 (3.3) o bien, (3.4) d L1 + L2 = τ1 + τ2 . dt Pero, de la definici´n de la torque y de las ecuaciones de movimiento (3.1) y...