Sistemas De Segundo Orden: Circuitos Rlc

CIRCUITOS ELÉCTRICOS:
CAPITULO 8: ANÁLISIS DE
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN:
CIRCUITOS RLC
Ing. Eduardo A. Gerlein, M.Sc.

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
• Aquellos sistemas que contienen 2 elementos
irreductibles que almacenan energía.
• El análisis circuital genera una ecuación diferencial de
segundo orden que debe ser resuelta según las
condiciones de sus coeficientes y condicionesiniciales.
• Todas las corrientes y voltajes se comportarán según la
solución de la ecuación de segundo orden.
1

1

L
R

C
Iin

R

2

Vin

L
2
E.Gerlein

C

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
• Circuitos:
• Encontrar la ecuación Diferencial Característica
mediante los métodos estudiados anteriormente.
• Encontrar las condiciones iniciales (4):

diL (0)
iL (0),
dt

dvC(0)
y vC (0),
dt

diL1 (0)
diL 2 (0)
iL1 (0),
y iL 2 (0),
dt
dt

dvC1 (0)
dvC 2 (0)
vC1 (0),
y vC 2 (0),
dt
dt

• Matemáticas:
• Resolver la ecuación diferencial (2 respuestas)
• Encontrar los coeficientes según las condiciones
iniciales.
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Método directo para encontrar la ecuación diferencial
de segundo orden:
• Identificar lasvariables x1 y x2.
• Encontrar una ecuación diferencial de primer orden tal
que:
dx
1

dt

 f x1 , x2 

• Obtener una ecuación diferencial de primer orden en
función de la segunda variable:

dx2
 kx1 ó
dt

1 dx2
 x1
k dt

• Sustituir en la primera ecuación y obtener la ecuación de
segundo orden
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo: Determinar la ecuacióndiferencial
característica del sistema:
1
C
Iin

R

L
2

E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución:
1
iin(t)

iL(t)

iR(t)

iC(t)

C
Iin

R

L
2

E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución:
1
Iin(t)

iL(t)

iR(t)

iC(t)

C
Iin

R

L
2

d 2 iL
1 diL
1
1


iL 
I in
2
dt
RC dt LC
LC
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DESEGUNDO ORDEN
Ejemplo: Determinar la ecuación diferencial
característica del sistema:
1

2
L

R

C

Vin

E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución:
+

vR(t) -

+

vL(t) -

1

+

vC(t) -

2
L

R

C

Vin

E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución:
+

vR(t) -

+

vL(t) -

1

+

vC(t) -

2
L

R

C

Vin

d 2vC R dvC
1
1

vC 
Vin
2
dt
L dt LC
LC
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Método indirecto para encontrar la ecuación diferencial
de segundo orden:
• Determinar la variable x1 para la cual se desea saber la
solución.
• Encontrar las ecuaciones diferenciales que describen los
voltajes de nodo o las corrientes de malla.

d
1
  dt
• Aplicar el operador: s  ;
dt
s
• Despejar lasnuevas ecuaciones algebraicas tal que
x1=f(s,fuentes).
• Aplicar el operador s inverso y hallar la ecuación
diferencial de segundo orden
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo: Determinar la ecuación diferencial
característica del para iL2(t)
1

2
1
L1

Vin

R

L2
2

R1 = 2W
R2 = 3W
L1 = 1 H
L2 = 2H
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución: Métodode mallas
+

vL1(t)

1

2
1

L1

+

+
Vin

i1

vR(t)
-

E.Gerlein

R

vL2(t)

i2
L2

2

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución: Aplicar el operador s a las ecuaciones
obtenidas:
1

2
1
L1

Vin

R

i1

i2
L2
2

di1
L1
 Ri1  Ri2  Vin
dt
di2
Ri1  Ri2  L2
0
dt
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución: Despejar:
1

2
1L1

Vin

R

i1

i2
L2
2

di1
L1
 Ri1  Ri2  Vin
dt
di2
Ri1  Ri2  L2
0
dt

L1si1  Ri1  Ri2  Vin
Ri1  Ri2  L2 si2  0
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Solución: Se obtiene:
1

2
1
L1

Vin

R

i1

i2
L2
2

L1L2 d 2i2
di2
 L1  L2 
 Vin
2
R dt
dt
E.Gerlein

1. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo: Determinar la ecuación...