Sistemas Dinámicos

Sistemas dinamicos
Formas canonicas de sistemas LTI

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Contenido
1.

La forma canonica diagonal

2.

Transformacion de coordenadas y
controlabilidad

3.

Transformacion de coordenadas y
observabilidad

4.

Descomposicion canonica controlable

5.

Descomposicion canonica observable

6.

Descomposicion canonica

2 /51

LA FORMA CANONICA
DIAGONAL
3 /51La forma canonica diagonal




Sean 1, 2,  + j, y   j los valores
propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores
propios correspondientes.
Definiendo V  v1 v2 v3 v4 . Entonces
tenemos
0
0 
1 0
0 
0
0 
2
  V 1 AV
J : 
 0 0   j
0 


0
  j 
0 0

4 /51

La forma canonica diagonal


Aplicando la siguiente transformacion de
similaridad ala matriz diagonal J
1
0
T 1 : 
0

0

0 0 0
1 0 0

0 1 1

0 j  j

1 0
0 
2
A : 
0 0

0 0

1

A  T JT
0
0

 

  
0
0

5 /51

TRANSFORMACION DE
COORDENADAS Y
CONTROLABILIDAD
6 /51

Cambio de coordenadas y controlabilidad


Sea el par (A,B) controlable
ˆ
ˆ
Q  B


ˆˆ
AB

ˆ ˆ
A2 B

ˆ ˆ
An1B 


TB TAT 1TB TA2T 1TB

 T B


AB

A2 B

ˆ
Q  TQ

TAn1T 1TB 


An1B 

Rango completo

La controlabilidad es una propiedad invariante frente
al cambio de coordenadas
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La clase de los los sistemas controlables


Se sabe que para todo par (A,B) controlable
entonces la matriz de controlabilidad Q es de
rango completo.
Q  A, B    B


AB

A2 BAn1B 


¿Existe una forma simple unica que represente a
todos los sistemas controlables?
La respuesta es SI
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Forma canonica del controlador


Si el par (A,B) es controlable entonces existe
una transformacion de coordenadas T con la
propiedad

 0
 0

AC  

 0
  0


1
0

0
1

0
0
1  2

0 
0 



1 
 n 1 


0 
0 
 BC   
 
0 
1 
 

AC  TAT 1

BC  TB

CC  CT 1
DC  D

como se demuestra a continuacion
9 /51

Forma canonica del controlador

,


En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de
controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico
vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal

hQ  0,

,0,1

con

Q   B, AB,


h  0,hQ  h  B, AB,


 hB, hAB,

 0,

, 0,1

, An1B 


,0,1 Q1

, An1B 


, hAn1B 


hAi B  0 0  i  n  2
hAn1B  1
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Forma canonica del controlador


 h 
 hA 

T 


 n 1 
 hA 

Definiendo la matriz no singular

Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz

 h 
 hA 
  B, AB,
N  TQ  

 n 1 
 hA 

 hB
hAB

hAB
hA2 B


 n2
n 1
 hA B hA B
 hAn 1 B hAn B


nn

, An 1B 


hAn 1B  0 0

hAn B  0 0

 

2n4
2 n 3 
hA B hA B  0 1
hA2 n 3 B hA2 n  2 B  1 *
 
hAn  2 B
hAn 1B

0 1
1 *



* *
* *


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Forma canonica del controlador


Ya que por suposicion Q es no singular,entonces T es
tambien no singular y z = Tx es una transformacion de
coordenadas lineal

 hx 
 hAx 

z


 n 1 
 hA x 


1

z  Tx

T  NQ

1



z  h x  hAx  hBu  hAx  z2



n2 

z n1  hA

x  hAn1 x  hAn2 Bu  hAn1 x  zn



z n  hAn x  hAn1Bu  hAn x  u
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Forma canonica del controlador
Sea el polinomio caracteristicode la matriz A:

det  sI  A  s n  n1s n 1 

 0

Por el teorema de Caley-Hamilton

An  n 1 An1 
hAn x  n1hAn1 x 

 1 A  0 I

 1hAx  0hx

1
0
 0
 0
0
1


z 



0
0
 0
  0  1   2



0 
0
0

0 

 

  z    u

 

1 
0
1 
   n 1 
 

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Forma canonica del...