Sistemas dinamicos

Introducción
Se podría decir que los sistemas dinámicos son un área ``joven" de las matemáticas, aunque se remontan a Newton con sus estudios de Mecánica Celeste, y a Henri Poincaré, quien inició elestudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, fue hace apenas unos 40 años que los sistemas dinámicos se establecieron como un área propiamente dicha, gracias al trabajo destacadode matemáticos e ingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc.

Si tratamos de precisar el concepto de sistemas dinámicos, podríamos decir burdamente que se trata del estudio de sistemasdeterministas, es decir, consideramos situaciones que dependan de algún parámetro dado, que frecuentemente suponemos es el tiempo, y que varían de acuerdo a leyes establecidas. De manera que elconocimiento de la situación en un momento dado, nos permite reconstruir el pasado y predecir el futuro.

Siendo un poco más formales, se prodría decir que un sistema dinámico es un modo de describir elrecorrido a lo largo del tiempo de todos los puntos de un espacio dado $\cal S$. El espacio $\cal S$ puede imaginarse, por ejemplo, como el espacio de estados2 de cierto sistema físico.Matemáticamente, $\cal S$ puede ser un espacio euclideano o un subconjunto abierto de un espacio euclideano. Un sistema dinámico para $\cal S$ nos dice para cada $x \in {\cal S}$, dónde está $x$ una unidad de tiempomás tarde, dos unidades de tiempo más tarde, y así sucesivamente. Denotamos estas nuevas posiciones de $x$ por $x_1,x_2$ respectivamente. En el instante cero, $x$ está en $x$ o $x_0$. Una unidad antesdel instante cero, $x$ estaba en $x_{-1}$. Si se extrapola para cubrir todos los números reales, se obtiene una trayectoria $x_t$ para todo tiempo $t$. La aplicación $I\!\!R\longrightarrow \cal{S}$,que envía $t$ a $x_t$, es una curva en $\cal S$ que representa la historia de $x$ cuando $t$ va de $- \infty $ a $+ \infty$.

Un sistema dinámico es una aplicación $\phi: I\!\!R\times {\cal S}...