sistemas dinamicos

INTRODUCCION

El estudio de los sistemas dinámicos es de importancia ya que estos están
relacionados con el mundo real. Por medio de ecuaciones diferenciales es posible describir el comportamiento de una gran cantidad de fenómenos físicos. Sin
embargo, muchas veces conviene usar sistemas dinámicos discretos para obtener
información de los fenómenos que nos interesan.
En esta tesis nosrestringimos al estudio de osciladores que están modelados por ecuaciones diferenciales y sujetos a un estímulo o forzamiento periódico.
Algunos aspectos importantes de la dinámica de estos osciladores, como sus
propiedades de sincronización, pueden estudiarse por medio de una metodología
de reducción que da lugar a una familia de funciones o sistemas dinámicos discretos que bajo algunas condicionesdiscutidas en este trabajo resultan ser funciones
en la circunferencia.
En el primer capítulo se presentan algunos resultados básicos necesarios para
el estudio de los sistemas dinámicos, continuos y discretos, se presentan ejemplos
de bifurcaciones para funciones en la recta y algunos hechos de la teoría de las
funciones en la circunferencia.
En el segundo capítulo se mencionan aspectos dela modelación de neuronas,
lo cual da pie al análisis matemático de los modelos planteados en el tercer capítulo. Así mismo se describe el modelo de la neurona mecánica, el cual es una
analogía extremadamente simple del funcionamiento de las neuronas biológicas
y el fundamento de los modelos más complicados que se discuten en el próximo
capítulo.
En el tercer capítulo se plantea un modelo deoscilador forzado de integración
y disparo que constituye una generalización del modelo usado por Keener, Hoppensteadt y Rinzel para modelar la respuesta de una neurona a un forzamiento
armónico. Siguiendo la metodología y la presentación de Carrillo y Ongay [15],
en este capítulo se presentan también muchos teoremas encontrados por estos
autores que son de gran utilidad para analizar estaclase de sistemas.
En el cuarto capítulo se aplican los resultados generales. En este capítulo se
presenta también un método de análisis y una serie de teoremas y conjeturas de
Carrillo y Ongay [15]. Este método resulta muy efectivo para analizar los proble-

mas de esta clase y es aplicado para analizar el modelo de neurona de integración
y disparo de Hoppensteadt, Keener y Rinzel. Por mediode este procedimiento,
para este sistema, se obtienen cinco regiones del espacio de parámetros, en las
que se describe con detalle la dinámica de los sistemas que corresponden a cada
punto de esas regiones. También se ilustran los cambios cualitativos que sufre
la dinámica cuando los parámetros varían continuamente de una región a otra.
Todas las clases cualitativas de las dinámicas deinterés se ilustran con una gran
variedad de gráÞcas obtenidas en un sistema de software que fue necesario construir para analizar este modelo.
Por último, el quinto capítulo es un breve manual en el que se describe el
funcionamiento de un sistema de software Integración y Disparo (IY D.EXE),
el cual constituyó una importante herramienta de análisis y además sirvió para
obtener la mayoría de lasgráÞcas que se usaron para ilustrar los resultados y
ejemplos de los capítulos tres y cuatro. Este manual no es extensivo, más bien
sirve para que los lectores se inicien en el manejo del programa.
Agradezco al Dr. Humberto Carrillo Calvet, Director del Laboratorio de
Dinámica no Lineal de la Facultad de Ciencias de la U.N.A.M. y al M. en C.
Fernando Ongay Larios, profesor de la Facultad deCiencias de la U.A.E.M. la
valiosa ayuda y el apoyo incondicional que me dieron durante la elaboración de
este trabajo. También le agradezco a Antonio Carrillo Ledezma su inÞnita
paciencia y su gran colaboración por tantas veces que me sacó de aprietos durante
mi estancia en el Laboratorio de Dinámica no Lineal de la Facultad de Ciencias,
a Mirna, nuestra valiosa secretaria, a todos los demás...