Sistemas dinamicos

SISTEMAS DINAMICOS, Por Manuel Morán Sesión Primera: Ley de crecimiento y puntos de equilibrio Presentación: Los sistemas dinámicos sirven para entender como evolucionan los procesos de la naturaleza. Modernamente han dado lugar a importantes descubrimientos, como la existencia de caos. A través de algunos ejemplos sencillos trataremos de aproximarnos a esta teoría matemática 1. Supongamos queuna especie de peces se reproduce de forma que si este año la cantidad de peces es x, el año próximo será y, donde y viene dada por la curva o dinámica de crecimiento, en la forma que indica la figura.

a) ¿Cuál será la cantidad de peces que da una cantidad máxima para el año próximo? b) Cuántos peces habrá al año siguiente si este año hay 1 millón de toneladas? ¿Y si no hay ningún pez? 2.¿Cuántos peces habrá al cabo de dos años? - Lleva la longitud y horizontalmente sobre el eje x. La distancia en vertical z hasta la curva es la que habrá dentro de dos años. - Observa que el mismo resultado se obtiene si se dibuja la diagonal del primer cuadrante, y se lleva el extremo superior del segmento vertical y horizontalmente sobre la diagonal del primer cuadrante, y luego verticalmente hasta lacurva. - Comprueba lo que ocurre al cabo de tres y de cuatro años.

3. Podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año con la siguiente tabla Año inicial X0 año primero x1 año segundo x2 ..................... año k xk

Se cumple para cualquier año k xk+1=f(xk), que significa que la cantidad de peces en el año siguiente viene dada por la curva de crecimiento si se sabe lacantidad del año anterior. Esta ecuación se llama sistema dinámico. Un sistema dinámico se puede dar gráficamente o por una ecuación como la anterior, como se verá en el siguiente ejemplo c) Una población de bacterias crece por división. Cada bacteria se divide en dos ejemplares cada hora, y cada uno de estos ejemplares está ya listo para su reproducción a la hora siguiente: ¿cuál será la ecuación delsistema dinámico que nos da la población a la hora siguiente a partir de la actual? d) Representa gráficamente la dinámica. e) Supongamos que hay una sola bacteria a las ocho de la mañana de hoy. ¿Cuántas habrá a las ocho de la mañana de mañana?. ¿Y de pasado mañana? Puedes ayudarte para el cálculo aproximado de la igualdad aproximada 210 = 1024  1000. f) En una fiesta de cumpleaños con docepersonas, cada uno que pasa al lado del pastel, corta la mitad de lo que le queda. Escribe un sistema dinámico que nos diga lo que le queda a la siguiente persona sabiendo el trozo que encontró la anterior. Representa gráficamente la dinámica. g) Calcula el trozo que queda para el perro después de que las doce personas hayan comido.

4. Las ballenas y otras especies animales tienen curvas decrecimiento muy lento. En caso de que sean cazadas libremente sus curvas de crecimiento pueden ser así:

¿Cuántas ballenas habrá al cabo de cuatro años?. ¿Cuántas habrá a más largo plazo?

5. Supongamos ahora que se prohíbe la caza de ballenas, de forma que su curva de crecimiento aumenta como indica la figura.

h) ¿Cuántas ballenas habrá a largo plazo para la población inicial x0? i) ¿Cuántashabrá si la población inicial es z0? j) ¿Cuántas habrá si la población inicial es x*? 6. Puntos de equilibrio. En un sistema dinámico, por ejemplo, de población de una especie animal, el sistema está en equilibrio cuando la población x* esta estabilizada y se repite todos los años, porque se cumple x*=f(x*) El valor x* se llama también punto fijo del sistema dinámico. k) Encuentra los puntos deequilibrio del sistema de la actividad 5, y los de las actividades 3 y 4.

7. Estabilidad de puntos de equilibrio l) Encuentra los puntos de puntos de equilibrio del sistema que tiene curva de crecimiento como en la siguiente figura.

m) Sabes que si la población es de x* peces, se mantiene. Pero supongamos que por efecto de un vertido contaminante baja algo la población. ¿qué ocurre a largo...