Sistemas dinamicos

DOMINIO FRECUENCIA – CRITERIO DE NYQUIST
DIAGRAMAS POLARES
En análisis dinámico de sistemas en el dominio de la frecuencia, además de emplearse los diagramas y el criterio de Bode, se utilizan las representaciones de las funciones de transferencia sinusoidales en coordenadas polares que sirven de base para otros criterios de estabilidad como son el de Nyquist y el de Nichols. El diagramapolar de una función de transferencia sinusoidal G(jw) es una gráfica de la magnitud de G(jw) con respecto al ángulo de fase de G(jw) en coordenadas polares, cuando “w” varía de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores G( jw) ∠G( jw) cuando “w” varía de cero a infinito. Cada punto en el diagrama polar de G(jw) representa el punto terminal de unvector en un valor determinado “w”. En el diagrama polar, es importante mostrar la graduación de la frecuencia del lugar geométrico. Las proyecciones de G(jw) en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginaria. En las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj (en el sentido de las agujas) apartir del eje real positivo. El diagrama polar se denomina, a menudo, “Diagrama de Nyquist”
Una ventaja de utilizar un diagrama polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que el diagrama no indica en forma clara la contribución de todos los factoresindividuales de la función de transferencia en lazo abierto.
DIAGRAMAS DE NYQUIST
Los diagramas de Nyquist de algunos de los sistemas componentes de un proceso se presentan a continuación:
SISTEMA INTEGRADOR
Para un sistema integrador con función de transferencia de la forma

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es

De acuerdo a la ecuación (18.2), el diagrama polarde la función de transferencia sinusoidal de un sistema integrador es el eje imaginario negativo. La Figura 18.1 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema integrador como el de la ecuación

SISTEMA DERIVATIVO
Para un sistema derivativo con función de transferencia de la forma

La expresión para la función de transferencia sinusoidal es:

De acuerdo a laecuación (18.4), el diagrama polar de la función de transferencia sinusoidal de un sistema derivativo es el eje imaginario positivo. La Figura 18.2 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema derivativo como el de la ecuación (18.3)

SISTEMA CON ATRASO DE PRIMER ORDEN
Para una función de transferencia con atraso de primer orden de la forma

La expresión para lafunción de transferencia sinusoidal es:

tSi “w” tiende a infinito, la magnitud de G(jw) tiende a cero y el ángulo de fase tiende a -90°. El diagrama polar de esta función de transferencia es un semicírculo cuando la frecuencia varía de cero a infinito. El centro se localiza en K/2 sobre el eje real y el radio es igual a K/2.

Para probar que el diagrama polar de un sistema con atraso de primerorden es un semicírculo de radio K/2 y centro en el punto K/2 sobre el eje real, se define a G( jw) = X + jY siendo X, Y, las partes real e imaginaria, respectivamente, de la ecuación (6) y, se tiene en cuenta que si son las coordenadas de un círculo deben satisfacer su ecuación analítica, es decir:

Siendo el “r”, el radio del círculo e igual a K/2. Sustituyendo las expresiones para X, Y,observadas en la ecuación (18.6), en la ecuación (8) se demuestra que el radio es igual a K/2 y, con ello, que el gráfico es un círculo. El semicírculo inferior corresponde a 0 ≤ w ≤ ∞ y el semicírculo superior corresponde a − ∞ ≤ w ≤ 0. La Figura 3 muestra el Diagrama de Nyquist, construido con Matlab, para un sistema con atraso de primer orden.
SISTEMA CON ADELANTO DE PRIMER ORDEN
Para...